Seja
uma função de classe
, com
e
.
Se sabemos ainda que
e
. Calcule
Se sabemos ainda que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ f $ que é diferenciável (classe $ C^1 $) em todos os números reais. Sabemos alguns valores e derivadas dessa função:
- $ f(-1) = -1 $
- $ f(2) = 5 $
- $ f’(-1) = -2 $
- $ f’(2) = 2 $
Também temos uma nova função $ g(x) = f(x) + x^2 $. O objetivo é encontrar a derivada da função inversa de $ g $, ou seja, $ \left(g^{-1}\right)’(0) $.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender o que significa a função inversa e sua derivada.
- Encontrar o valor de $ x $ que faz $ g(x) = 0 $.
- Calcular a derivada de $ g $ nesse ponto.
- Usar a fórmula da derivada da função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Se $ g $ é uma função invertível, $ g^{-1}(y) $ dá o valor de $ x $ tal que $ g(x) = y $. Então, $ g^{-1}(0) $ é o valor de $ x $ que faz $ g(x) = 0 $.
Passo 3
Vamos encontrar $ g(-1) $:
Então, $ g(-1) = 0 $, o que significa que $ g^{-1}(0) = -1 $.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de $ g $ no ponto $ x = -1 $. A derivada de $ g $ é:
Substituindo $ x = -1 $:
Passo 5
Finalmente, usamos a fórmula da derivada da função inversa:
Para $ y = 0 $: