Seja f uma função de classe C^1 em R, com f(-1)=-1 e f(2)=5.
Se sabemos ainda que f^prime(-1)=-2, f^prime(2)=2 e g(x)=f(x)+x^2. Calcule (g^-1)^prime(0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ f $ que é diferenciável (classe $ C^1 $) em todos os números reais. Sabemos alguns valores e derivadas dessa função:
  • $ f(-1) = -1 $
  • $ f(2) = 5 $
  • $ f’(-1) = -2 $
  • $ f’(2) = 2 $
Também temos uma nova função $ g(x) = f(x) + x^2 $. O objetivo é encontrar a derivada da função inversa de $ g $, ou seja, $ \left(g^{-1}\right)’(0) $.
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Entender o que significa a função inversa e sua derivada.
  2. Encontrar o valor de $ x $ que faz $ g(x) = 0 $.
  3. Calcular a derivada de $ g $ nesse ponto.
  4. Usar a fórmula da derivada da função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Se $ g $ é uma função invertível, $ g^{-1}(y) $ dá o valor de $ x $ tal que $ g(x) = y $. Então, $ g^{-1}(0) $ é o valor de $ x $ que faz $ g(x) = 0 $.

Passo 3

Vamos encontrar $ g(-1) $:
g(-1)
Então, $ g(-1) = 0 $, o que significa que $ g^{-1}(0) = -1 $.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de $ g $ no ponto $ x = -1 $. A derivada de $ g $ é:
g
Substituindo $ x = -1 $:
x = -1

Passo 5

Finalmente, usamos a fórmula da derivada da função inversa:
(g^-1)'(y) = 1g'(g^-1(y))
Para $ y = 0 $:
y = 0

Resposta

(g^-1)'(0) = -14

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