Considere a função f(x)=1+x^2-cos (x)
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a função $ f(x) = 1 + x^{2} - \cos(x) $ para descobrir onde ela está crescendo e onde está descendo. Isso faz parte do estudo de Derivadas em Cálculo, especificamente sobre intervalos de crescimento e decrescimento de funções. Para resolver isso, precisamos encontrar a derivada da função e ver onde ela é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função estar crescendo ou decrescendo. Se a derivada da função, $ f’(x) $, for maior que zero em um intervalo, isso significa que a função está crescendo nesse intervalo. Se a derivada for menor que zero, a função está decrescendo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função $ f(x) = 1 + x^{2} - \cos(x) $. A derivada de uma constante é zero, a derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e a derivada de $ -\cos(x) $ é $ \sin(x) $. Então:
f(x) = 1 + x^2 - cos(x)

Passo 4

Agora, queremos saber onde $ f’(x) $ é maior que zero (função cresce) e onde é menor que zero (função decresce). Ou seja, vamos resolver:
  1. $ 2x + \sin(x) > 0 $ para crescimento.
  2. $ 2x + \sin(x) < 0 $ para decrescimento.

Passo 5

Essa equação $ 2x + \sin(x) = 0 $ não tem solução algébrica simples, então vamos analisar o comportamento da derivada:
  • Para valores de $ x $ bem positivos, $ 2x $ domina e $ f’(x) > 0 $.
  • Para valores de $ x $ bem negativos, $ 2x $ domina e $ f’(x) < 0 $.
  • Perto de $ x = 0 $, precisamos ver como $ 2x + \sin(x) $ se comporta.
Sabemos que para pequenos $ x $, $ \sin(x) \approx x $, então $ f’(x) \approx 2x + x = 3x $. Então:
  • Para $ x > 0 $, $ f’(x) > 0 $ (cresce).
  • Para $ x < 0 $, $ f’(x) < 0 $ (decresce).
Isso nos dá uma ideia dos intervalos principais.

Resposta

A função $ f(x) = 1 + x^{2} - \cos(x) $ está:
  • Crescente para todos os valores de $ x > 0 $.
  • Decrescente para todos os valores de $ x < 0 $.

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