Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
(d) sigma(t)=(t, ln (sec t), ln (sec t+tg t)), 0 <= t <= pi4.

Passo 1

O problema pede o comprimento do arco da curva paramétrica sigma(t)=(t,ln(sec t),ln(sec t+tan t)) para 0<= t<=pi/4. O conteúdo é comprimento de curva no espaço, e vamos usar a fórmula
L=integrala^b|sigma'(t)|,dt

Passo 2

Vamos derivar cada componente de sigma(t):
  • ddtt=1.
  • ddtln(sec t)=sec ttan tsec t=tan t.
  • ddtln(sec t+tan t)=sec ttan t+sec^2 tsec t+tan t=sec t.
    Logo,
sigma'(t)=(1,tan t,sec t)

Passo 3

Agora calculamos o módulo de sigma'(t):
|sigma'(t)|=raiz1+tan^2 t+sec^2 t =raizsec^2 t+sec^2 t =raiz2sec^2 t =raiz2,sec t

Passo 4

Substituímos na fórmula do comprimento:
L=integral0^pi/4|sigma'(t)|,dt =raiz2integral0^pi/4sec t,dt

Passo 5

Sabendo que integralsec t,dt=ln|sec t+tan t|+C, avaliamos de 0 a pi/4:
L=raiz2l[ln(sec t+tan t)r]0^pi/4 =raiz2l(ln(raiz2+1)-ln1r) =raiz2ln(raiz2+1)

Resposta

raiz2ln(raiz2+1)

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