Considere a função f(x)=3 x^4-x^2+1 e r a reta que passa pelos pontos (-1, f(-1)) e (x, f(x)).
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em x=-1.

Passo 1

Aqui a parada é achar a reta tangente ao gráfico de f em x = -1. O conteúdo da matéria é derivadas e equação da reta tangente. Para resolver, precisaremos: (a) calcular a derivada de f, (b) avaliar essa derivada em x = -1 para achar o coeficiente angular, © avaliar f(-1) para achar o ponto, e (d) montar a reta usando a forma ponto-inclinação.

Passo 2

Primeiro, a derivada de f(x) = 3x^4 – x^2 + 1. Como a derivada de x^n é n x^{n-1}, temos:
f'(x) = 12x^3 - 2x

Passo 3

Agora, avaliaremos a derivada em x = -1 para descobrir o coeficiente angular m da reta tangente. Substituindo:
m = f'(-1) = 12(-1)^3 - 2(-1) = -12 + 2 = -10

Passo 4

Precisamos também do ponto de tangência, que é (-1, f(-1)). Calculando f(-1):
f(-1) = 3(-1)^4 - (-1)^2 + 1 = 3logo o ponto é (-1, 3).

Passo 5

Agora que temos o coeficiente angular m = -10 e o ponto (-1,3), usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y - y0 = m (x - x0)Substituindo y_0 = 3, x_0 = -1 e m = -10, obtemos:
y - 3 = -10 (x + 1)Em seguida, basta isolar y para chegar na forma explícita.

Passo 6

Distribuindo e isolando y, temos:
y - 3 = -10x - 10,
y = -10x - 10 + 3,
y = -10x - 7

Resposta

A equação da reta tangente é y = -10x - 7.

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