Use as regras de derivação para calcular a derivada das funções abaixo:
f(x)=5 x^15-25 x^25+15 x^35+54 x^45+15 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=5 x^15 - 25 x^25 + 15 x^35 + 54 x^45 + 15 x usando as regras de derivação. Vamos precisar da regra da soma (a derivada da soma é a soma das derivadas) e da regra da potência ( ddx x^n = n x^n-1) junto com a derivada de constantes multiplicativas.

Passo 2

Aplicando a regra da potência termo a termo, temos:
ddxl(5 x^tfrac15r)&=5cdottfrac15,x^-tfrac45 ddxl(-25 x^tfrac25r)&=-25cdottfrac25,x^-tfrac35 ddxl(15 x^tfrac35r)&=15cdottfrac35,x^-tfrac25 ddxl(tfrac54 x^tfrac45r)&=tfrac54cdottfrac45,x^-tfrac15 ddxl(tfrac15 xr)&=tfrac15

Passo 3

Agora simplificamos os coeficientes de cada termo:
5cdottfrac15&=1, -25cdottfrac25&=-10, 15cdottfrac35&=9, tfrac54cdottfrac45&=1

Passo 4

Logo a derivada fica:
f'(x)=x^-tfrac45 -10 x^-tfrac35 +9 x^-tfrac25 +x^-tfrac15 +tfrac15

Resposta

f'(x)=x^-45 -10 x^-35 +9 x^-25 +x^-15 +15

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