Considere a função
f(x)=x^2+1x^2-(4 a+2 p) x+3 p^2
sendo a>0 um número real fixado e p>0.
O domínio de f será R se os valores de p estiverem no intervalo

Passo 1

Neste exercício temos a função
f(x)=x^2+1x^2-(4a+2p)x+3p^2,
o conteúdo é análise de domínio de funções racionais e precisamos garantir que o denominador nunca zere em R. Para isso, vamos estudar as raízes da equação do denominador por meio do discriminante.

Passo 2

O denominador é a função quadrática
$$D(x)=x{2}-(4a+2p)x+3p{2}.
$$
Para que ela não tenha raízes reais, precisamos que seu discriminante D(x)=x^2-(4a+2p)x+3p^2 seja negativo.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
$$\Delta=(4a+2p){2}-4\cdot1\cdot3p{2}=16a{2}+16ap+4p{2}-12p{2}=16a{2}+16ap-8p^{2}.
$$

Passo 4

Impondo De obtemos
16a^2+16ap-8p^2<0
Dividindo por 8, isso vira
2a^2+2ap-p^2<0
e reorganizando (multiplicando por -1):
p^2-2ap-2a^2>0

Passo 5

Resolvendo a inequação quadrática p^2-2ap-2a^2>0: as raízes da igualdade são
$$p=a\pm a\sqrt{3}.
p=apm araiz3 éçãép<a(1-\sqrt{3})\quadou\quad p>a(1+\sqrt{3}).$$

Passo 6

Como sabemos que a>0 e p>0, a única parte válida é
p>a(1+raiz3)
Logo, para esses valores de p o denominador nunca zera e o domínio de f é R.

Resposta

(a(1+raiz3),,infty)

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