Resolva as seguintes equações diferenciais
y^prime prime-y^prime-2 y=0, y(0)=3, y^prime(0)=-1

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - y’ - 2y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 3 $ e $ y’(0) = -1 $. Para isso, vamos utilizar o método das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação diferencial, temos:
y = e^rt
Dividindo ambos os lados por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
(r^2 e^rt) - (r e^rt) - 2 e^rt = 0

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica $ r^2 - r - 2 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 - r - 2 = 0
Assim, as raízes são $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $.

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 3 $:
y(0) = 3

Passo 6

Calculamos a derivada de $ y(t) $:
y(t)
Aplicamos a condição inicial $ y’(0) = -1 $:
y'(t) = 2C1 e^2t - C2 e^-t

Passo 7

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
C1 + C2 = 3 2C1 - C2 = -1
Somando as duas equações:
3C1 = 2 Rightarrow C1 = 23
Substituindo em $ C_1 + C_2 = 3 $:
C1 + C2 = 3

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 23 e^2t + 73 e^-t

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