Resolva as seguintes equações diferenciais
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - y’ - 2y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 3 $ e $ y’(0) = -1 $. Para isso, vamos utilizar o método das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação diferencial, temos:
Dividindo ambos os lados por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica $ r^2 - r - 2 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 3 $:
Passo 6
Calculamos a derivada de $ y(t) $:
Aplicamos a condição inicial $ y’(0) = -1 $:
Passo 7
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em $ C_1 + C_2 = 3 $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: