- Considere a função
definida para
.
(a) Determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(b) Determine os intervalos onde
é côncava para cima e côncava para baixo.
(c) Determine as assíntotas de
, caso existam.
(d) Esboce o gráfico de
.
(a) Determine os intervalos onde
(b) Determine os intervalos onde
(c) Determine as assíntotas de
(d) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
, e pede:
a) onde é crescente ou decrescente,
b) onde é côncava para cima ou para baixo,
c) suas assíntotas (se existirem) e
d) o esboço do gráfico.
Para isso vamos calcular e
, estudar seus sinais, analisar limites e montar o esboço.
a) onde
b) onde é côncava para cima ou para baixo,
c) suas assíntotas (se existirem) e
d) o esboço do gráfico.
Para isso vamos calcular
Passo 2
Calculemos a derivada primeira:
Passo 3
Para achar monotonicidade estudamos o sinal de
Como
para
, o sinal de
é o de
.
- Se , então
e
(crescente).
- Se , então
e
(decrescente).
- Se , então
implica
e
(decrescente).
- Se
- Se
- Se
Passo 4
Agora a derivada segunda:
O sinal de
depende de
e do sinal de
:
- Para , temos
e
, logo
(côncava para cima).
- Para ,
mas
, logo
(côncava para baixo).
- Para ,
e
, logo
(côncava para cima).
- Para
- Para
- Para
Passo 5
Analisando assíntotas e comportamentos limites:
- Em ,
e
, então
.
- Em ,
, logo
.
Isso mostra a assíntota vertical
- Em
- Em
Isso mostra a assíntota vertical
Para
, temos
ou seja,
é a “assíntota parabólica” (não há assíntota reta).
Passo 6
Principais pontos para esboço:
- Ponto crítico em :
,
, mínimo local.
- Ponto de inflexão em :
, e
.
- No ramo :
decresce de
(em
) até
, depois cresce para
.
- No ramo :
é sempre decrescente, com concavidade mudando em
, indo de
(quando
) até
(quando
).
- Ponto crítico em
- Ponto de inflexão em
- No ramo
- No ramo
Com esses dados você consegue desenhar dois ramos: um para
atravessando o inflexão em
, outro para
com mínimo em
.
Resposta
(a)
é crescente em
e decrescente em
.
(b) é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
(c) Assíntota vertical: . Não há assíntota reta; existe assíntota parabólica
.
(d) O ramo em decresce de
a
passando por inflexão em
. O ramo em
decresce de
(em
) até mínimo em
, depois cresce para
.
(b)
(c) Assíntota vertical:
(d) O ramo em