1. Considere a função f(x)=x^2+2x definida para x neq 0.
    (a) Determine os intervalos onde f é crescente e decrescente.
    (b) Determine os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baixo.
    (c) Determine as assíntotas de f, caso existam.
    (d) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2+2x,
definida para xneq0, e pede:
a) onde f é crescente ou decrescente,
b) onde é côncava para cima ou para baixo,
c) suas assíntotas (se existirem) e
d) o esboço do gráfico.
Para isso vamos calcular f' e f'', estudar seus sinais, analisar limites e montar o esboço.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x^2+tfrac2xr)=2x-2x^-2 =2x-2x^2 =2x^3-2x^2 =2,x^3-1x^2

Passo 3

Para achar monotonicidade estudamos o sinal de
f'(x)=2,x^3-1x^2
Como x^2>0 para xneq0, o sinal de f' é o de x^3-1.
- Se x>1, então x^3-1>0 e f'>0 (crescente).
- Se 0<x<1, então x^3-1<0 e f'<0 (decrescente).
- Se x<0, então x^3<0 implica x^3-1<0 e f'<0 (decrescente).

Passo 4

Agora a derivada segunda:
f''(x)=ddxl(2x-2x^-2r)=2+4x^-3 =2+4x^3 =2x^3+4x^3 =2,x^3+2x^3
O sinal de f'' depende de x^3+2 e do sinal de x^3:
- Para x>0, temos x^3+2>0 e x^3>0, logo f''>0 (côncava para cima).
- Para -raiz[,3]2<x<0, x^3+2>0 mas x^3<0, logo f''<0 (côncava para baixo).
- Para x<-raiz[,3]2, x^3+2<0 e x^3<0, logo f''>0 (côncava para cima).

Passo 5

Analisando assíntotas e comportamentos limites:
- Em xto0^+, tfrac2xto+infty e x^2to0, então f(x)to+infty.
- Em xto0^-, tfrac2xto-infty, logo f(x)to-infty.
Isso mostra a assíntota vertical
x=0
Para xtopminfty, temos
f(x)=x^2+2x Longrightarrow f(x)-x^2=2xto0,
ou seja, y=x^2 é a “assíntota parabólica” (não há assíntota reta).

Passo 6

Principais pontos para esboço:
- Ponto crítico em x=1: f'(1)=0, f(1)=1+2=3, mínimo local.
- Ponto de inflexão em x=-raiz[,3]2: f''=0, e f(-raiz[,3]2)=0.
- No ramo x>0: f decresce de +infty (em 0^+) até (1,3), depois cresce para +infty.
- No ramo x<0: f é sempre decrescente, com concavidade mudando em -raiz[,3]2, indo de +infty (quando xto-infty) até -infty (quando xto0^-).
Com esses dados você consegue desenhar dois ramos: um para x<0 atravessando o inflexão em (-,raiz[3]2,0), outro para x>0 com mínimo em (1,3).

Resposta

(a) f é crescente em l(1,inftyr) e decrescente em (-infty,0)cup(0,1).
(b) f é côncava para cima em (-infty,-raiz[3]2)cup(0,infty) e côncava para baixo em l(-raiz[3]2,0r).
(c) Assíntota vertical: x=0. Não há assíntota reta; existe assíntota parabólica y=x^2.
(d) O ramo em x<0 decresce de +infty a -infty passando por inflexão em l(-raiz[3]2,0r). O ramo em x>0 decresce de +infty (em 0^+) até mínimo em (1,3), depois cresce para +infty.

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