Exercício 13. (Apostol seção 2.12 exercício 1) Seja R^n com a base canônica. Determine a matriz de cada uma das transformações lineares T: R^n R^n :
T é a multiplicação por um escalar c.

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear Tcolon R^n to R^n definida por
T(x)=c,x
para todo vetor xinR^n, usando a base canônica. O conteúdo aqui é a relação entre aplicação linear e sua matriz na base canônica.

Passo 2

Para encontrar a matriz de T, aplicamos T a cada vetor da base canônica e1,dots,en. Como
T(ei)=c,ei
cada coluna i da matriz de T (na base canônica) é precisamente o vetor c,ei.

Passo 3

O vetor c,ei tem todas as coordenadas zero, exceto a i-ésima que vale c. Assim, a coluna i da matriz é
0 vdots c vdots0
com c na posição i. Fazendo isso para i=1,dots,n, obtemos uma matriz diagonal com c em todas as entradas da diagonal.

Passo 4

Portanto, a matriz de T na base canônica é
A = c & 0 & cdots & 0 0 & c & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & c
que pode ser escrita como c,In.

Resposta

A matriz de T na base canônica é c,In.

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