Exercício 13. (Apostol seção 2.12 exercício 1) Seja com a base canônica. Determine a matriz de cada uma das transformações lineares : é a multiplicação por um escalar .
Passo 1
O enunciado pede a matriz da transformação linear definida por
para todo vetor , usando a base canônica. O conteúdo aqui é a relação entre aplicação linear e sua matriz na base canônica.
Passo 2
Para encontrar a matriz de , aplicamos a cada vetor da base canônica . Como
cada coluna da matriz de (na base canônica) é precisamente o vetor .
Passo 3
O vetor tem todas as coordenadas zero, exceto a -ésima que vale . Assim, a coluna da matriz é
com c na posição i. Fazendo isso para i=1,dots,n, obtemos uma matriz diagonal com c em todas as entradas da diagonal.
Passo 4
Portanto, a matriz de T na base canônica é
A = c & 0 & cdots & 0 0 & c & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & c