Considere a função f(x)=x^2x^2+4.
Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de f.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $ e precisamos encontrar as assíntotas horizontais e verticais dessa função, se elas existirem. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em funções racionais como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas horizontais. Essas são linhas retas que a função se aproxima quando $ x $ tende para mais ou menos infinito ($ +\infty $ ou $ -\infty $). Para encontrar uma assíntota horizontal, calculamos o limite da função quando $ x $ vai para $ +\infty $ e $ -\infty $.

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende para $ +\infty $:
f(x)
Dividimos o numerador e o denominador por $ x^{2} $:
x
Como $ \frac{4}{x^{2}} $ tende a 0 quando $ x $ tende para $ +\infty $:
+infty

Passo 4

Agora, calculamos o limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende para $ -\infty $:
f(x)
Fazemos o mesmo procedimento de dividir por $ x^{2} $:
x
Novamente, $ \frac{4}{x^{2}} $ tende a 0 quando $ x $ tende para $ -\infty $:
-infty

Passo 5

Como os limites de $ f(x) $ quando $ x $ tende para $ +\infty $ e $ -\infty $ são ambos iguais a 1, temos uma assíntota horizontal em $ y = 1 $.

Passo 6

Agora, vamos verificar se existem assíntotas verticais. Essas ocorrências acontecem quando o denominador da função se iguala a zero, mas o numerador não. Vamos resolver:
x^2 + 4 = 0
Subtraindo 4 de ambos os lados:
x^2 = -4
Não há solução real para essa equação, pois o quadrado de um número real nunca é negativo. Isso significa que a função não tem assíntotas verticais.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $ possui uma assíntota horizontal em $ y = 1 $ e não possui assíntotas verticais.

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