Considere a função f(x)=x^2x^2+4.
Encontre a derivada primeira de f e os seus extremos locais, caso existam.

Passo 1

Então, a gente tem uma função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $. O objetivo aqui é encontrar a primeira derivada dessa função e depois descobrir onde ela atinge seus extremos locais, ou seja, os pontos onde a função tem valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de $ f(x) $. Para isso, usamos a regra do quociente, que serve para derivar funções que são uma divisão de duas outras funções. A regra do quociente é dada por:
f(x)
onde $ u = x^{2} $ e $ v = x^{2} + 4 $.

Passo 3

Vamos encontrar $ u’ $ e $ v’ $:
u'
v'

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = 2x(x^2 + 4) - x^2(2x)(x^2 + 4)^2
Simplificando o numerador:
2x(x^2 + 4) = 2x^3 + 8x
x^2(2x) = 2x^3
Então:
f'(x) = 2x^3 + 8x - 2x^3(x^2 + 4)^2 = 8x(x^2 + 4)^2

Passo 5

Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{8x}{(x^{2} + 4)^{2}} $, vamos encontrar os extremos locais. Para isso, precisamos encontrar os valores de $ x $ onde $ f’(x) = 0 $.

Passo 6

Igualando a derivada a zero:
8x(x^2 + 4)^2 = 0
O numerador precisa ser zero:
8x = 0 Rightarrow x = 0
Então, temos um ponto crítico em $ x = 0 $.

Passo 7

Para confirmar se esse ponto é um extremo local, podemos analisar o sinal da derivada antes e depois de $ x = 0 $:
  • Para $ x < 0 $, por exemplo $ x = -1 $:
x = 0
  • Para $ x > 0 $, por exemplo $ x = 1 $:
x < 0
A derivada muda de negativa para positiva em $ x = 0 $, o que indica que $ f(x) $ tem um mínimo local nesse ponto.

Resposta

A derivada primeira de $ f(x) $ é $ f’(x) = \frac{8x}{(x^{2} + 4)^{2}} $ e a função possui um mínimo local em $ x = 0 $.

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