Considere a função
.
Encontre a derivada primeira de
e os seus extremos locais, caso existam.
Encontre a derivada primeira de
Passo 1
Então, a gente tem uma função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $. O objetivo aqui é encontrar a primeira derivada dessa função e depois descobrir onde ela atinge seus extremos locais, ou seja, os pontos onde a função tem valores máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ f(x) $. Para isso, usamos a regra do quociente, que serve para derivar funções que são uma divisão de duas outras funções. A regra do quociente é dada por:
onde $ u = x^{2} $ e $ v = x^{2} + 4 $.
Passo 3
Vamos encontrar $ u’ $ e $ v’ $:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 5
Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{8x}{(x^{2} + 4)^{2}} $, vamos encontrar os extremos locais. Para isso, precisamos encontrar os valores de $ x $ onde $ f’(x) = 0 $.
Passo 6
Igualando a derivada a zero:
O numerador precisa ser zero:
Então, temos um ponto crítico em $ x = 0 $.
Passo 7
Para confirmar se esse ponto é um extremo local, podemos analisar o sinal da derivada antes e depois de $ x = 0 $:
- Para $ x < 0 $, por exemplo $ x = -1 $:
- Para $ x > 0 $, por exemplo $ x = 1 $:
A derivada muda de negativa para positiva em $ x = 0 $, o que indica que $ f(x) $ tem um mínimo local nesse ponto.
Resposta
A derivada primeira de $ f(x) $ é $ f’(x) = \frac{8x}{(x^{2} + 4)^{2}} $ e a função possui um mínimo local em $ x = 0 $.