Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
f(x, y)=x^2+y; curva x^4+y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função f(x,y)=x^2+y sujeita à curva x^4+y^2=1. O conteúdo é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar calcular os gradientes de f e da restrição g(x,y)=x^4+y^2-1 e resolver as equações resultantes.

Passo 2

Aplicamos o método de Lagrange: definimos g(x,y)=x^4+y^2-1 e igualamos nabla f=lambdanabla g. Isso gera o sistema
2x = lambda,4x^3 1 = lambda,2y x^4+y^2=1
onde as duas primeiras equações vêm dos gradientes.

Passo 3

Da segunda equação tiramos lambda=1/(2y). Substituindo na primeira:
2x = 4x^32y = 2x^3y
Multiplicando por y obtemos 2xy=2x^3. Então ou x=0 ou, para xneq0, divide-se por 2x e fica y=x^2.

Passo 4

Para o caso xneq0: usamos y=x^2 na restrição
x^4+(x^2)^2=1implies2x^4=1implies x^4=tfrac12implies x^2=2^-1/2implies x=pm2^-1/4
Então
y=x^2=2^-1/2=tfrac1raiz2
Esses pontos são l(pm2^-1/4,,2^-1/2r).

Passo 5

Para o caso x=0: da restrição vem y^2=1, logo y=pm1. Os pontos são (0,1) e (0,-1).

Passo 6

Agora avaliamos f(x,y)=x^2+y em todos os candidatos:
  • Em l(pm2^-1/4,,2^-1/2r): f=2^-1/2+2^-1/2=2cdot2^-1/2=raiz2.
  • Em (0,1): f=0+1=1.
  • Em (0,-1): f=0-1=-1.
    Comparando, o maior valor é raiz2 e o menor é -1.

Resposta

Máximo: f=raiz2 nos pontos l(pm2^-1/4,,2^-1/2r); Mínimo: f=-1 no ponto (0,-1).

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