Considere a função f(x)=x^2x^2+4.
Encontre, caso existam, os intervalos de crescimento e decrescimento de f.

Passo 1

Neste exercício, a gente tem a função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 4} $ e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em cada ponto. Para $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 4} $, vamos usar a regra do quociente para calcular a derivada.
A regra do quociente diz que se temos uma função $ \frac{u}{v} $, a derivada é:
f(x)
Aqui, $ u = x^{2} $ e $ v = x^{2} + 4 $.
Calculando as derivadas de $ u $ e $ v $:
f(x) = x^2x^2 + 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
uv
Simplificando o numerador:
f'(x) = u'v - uv'v^2

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{8x}{(x^{2} + 4)^{2}} $, vamos analisar o sinal dela para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Observamos que o denominador $ (x^{2} + 4)^{2} $ é sempre positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo. Assim, o sinal da derivada depende apenas do numerador $ 8x $:
  • Se $ 8x > 0 $ (ou seja, $ x > 0 $), então $ f’(x) > 0 $ e a função está crescendo.
  • Se $ 8x < 0 $ (ou seja, $ x < 0 $), então $ f’(x) < 0 $ e a função está decrescendo.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 4} $ está crescendo no intervalo $ (0, +\infty) $ e decrescendo no intervalo $ (-\infty, 0) $.

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