Considere a função
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Encontre, caso existam, os intervalos de crescimento e decrescimento de
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Encontre, caso existam, os intervalos de crescimento e decrescimento de
Passo 1
Neste exercício, a gente tem a função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 4} $ e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em cada ponto. Para $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 4} $, vamos usar a regra do quociente para calcular a derivada.
A regra do quociente diz que se temos uma função $ \frac{u}{v} $, a derivada é:
Aqui, $ u = x^{2} $ e $ v = x^{2} + 4 $.
Calculando as derivadas de $ u $ e $ v $:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 3
Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{8x}{(x^{2} + 4)^{2}} $, vamos analisar o sinal dela para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Observamos que o denominador $ (x^{2} + 4)^{2} $ é sempre positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo. Assim, o sinal da derivada depende apenas do numerador $ 8x $:
- Se $ 8x > 0 $ (ou seja, $ x > 0 $), então $ f’(x) > 0 $ e a função está crescendo.
- Se $ 8x < 0 $ (ou seja, $ x < 0 $), então $ f’(x) < 0 $ e a função está decrescendo.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 4} $ está crescendo no intervalo $ (0, +\infty) $ e decrescendo no intervalo $ (-\infty, 0) $.