Determine os máximos e mínimos da função f na superfície dada
f(x, y, z)=2(x+y)+z; esfera x^2+y^2+z^2=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função f(x,y,z)=2(x+y)+z sujeitos à restrição da esfera x^2+y^2+z^2=1. O tema aqui é otimização com restrição e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos críticos sobre a superfície esférica.

Passo 2

Para aplicar Lagrange definimos a função de restrição g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1. O teorema diz que, em extremos, temos nabla f = lambda,nabla g junto com a própria restrição g=0.

Passo 3

Calculamos os gradientes: nabla f=(2,2,1) e nabla g=(2x,2y,2z). Igualando-os aparece o sistema
2 = lambdacdot 2x, 2 = lambdacdot 2y, 1 = lambdacdot 2z

Passo 4

Dessas igualdades vem
x = 1lambda, y = 1lambda, z = 12lambda
Agora impomos a esfera:
x^2 + y^2 + z^2 = l(tfrac1lambdar)^2 + l(tfrac1lambdar)^2 + l(tfrac12lambdar)^2 = 2lambda^2 + 14lambda^2 = 94lambda^2 = 1

Passo 5

Daí 94lambda^2=1 leva a lambda^2=tfrac94, ou seja lambda=pmtfrac32.

Passo 6

Para lambda=tfrac32 obtemos
x=y=1lambda=23, z=12lambda=13
e
f=2l(tfrac23+tfrac23r)+tfrac13=3,
o que é o valor máximo. Para lambda=-tfrac32 temos
x=y=-23, z=-13,
e
f=-3,
o valor mínimo.

Passo 7

Esses dois pontos são únicos e atingem os extremos pedidos.

Resposta

O valor máximo de f é 3, atingido em (2/3,2/3,1/3), e o valor mínimo de f é -3, atingido em (-2/3,-2/3,-1/3).

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