Determine os máximos e mínimos da função f na superfície dada
; esfera
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos da função
sujeitos à restrição da esfera
. O tema aqui é otimização com restrição e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos críticos sobre a superfície esférica.
Passo 2
Para aplicar Lagrange definimos a função de restrição
. O teorema diz que, em extremos, temos
junto com a própria restrição
.
Passo 3
Calculamos os gradientes:
e
. Igualando-os aparece o sistema
Passo 4
Dessas igualdades vem
Agora impomos a esfera:
Passo 5
Daí
leva a
, ou seja
.
Passo 6
Para
obtemos
e
o que é o valor máximo. Para
temos
e
o valor mínimo.
Passo 7
Esses dois pontos são únicos e atingem os extremos pedidos.
Resposta
O valor máximo de f é 3, atingido em (2/3,2/3,1/3), e o valor mínimo de f é -3, atingido em (-2/3,-2/3,-1/3).