Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
f(x, y)=x^2+4 y^2; curva x^4+y^4=1

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+4y^2 sujeita à curva x^4+y^4=1. O conteúdo aqui é extremos com restrição e vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Calculamos os gradientes e igualamos: nabla f=(2x,,8y) e nabla g=(4x^3,,4y^3), impondo nabla f=lambdanabla g obtemos o sistema
2x=4lambda x^3, 8y=4lambda y^3, x^4+y^4=1

Passo 3

No caso geral com xneq0 e yneq0, das duas primeiras equações vem
lambda=12x^2 e lambda=2y^2. Igualando,
12x^2=2y^2implies y^2=4x^2implies y=pm2x
Substituindo em x^4+y^4=1 x^4+16x^4=17x^4=1 e então x=pm17^-1/4. Chamando a=17^-1/4, os pontos são (pm a,pm2a).

Passo 4

Agora os casos em que uma variável é zero: se x=0 então da restrição y^4=1 e fica (0,pm1). Se y=0 então (pm1,0).

Passo 5

Avaliamos f nos candidatos:
  • Nos pontos (pm a,pm2a):
f=a^2+4(2a)^2=a^2+16a^2=17a^2=17cdot17^-1/2=raiz17
  • Em (pm1,0): f=1+0=1
  • Em (0,pm1): f=0+4cdot1=4
    Comparando, o menor valor é 1 e o maior é raiz17.

Passo 6

O valor mínimo global de f na curva é 1 atingido em (1,0) e (-1,0). O valor máximo global é raiz17 atingido nos quatro pontos (pm17^-1/4,pm2,17^-1/4).

Resposta

Mínimos globais: fmin=1 em (pm1,0). Máximos globais: fmax=raiz17 em (pm17^-1/4,pm2,17^-1/4).

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