Considere a função
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Encontre a derivada segunda de
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Encontre a derivada segunda de
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos este exercício! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $ e precisa encontrar a segunda derivada dela. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções racionais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A função é um quociente de duas funções: $ u(x) = x^{2} $ e $ v(x) = x^{2} + 4 $. Para derivar um quociente, usamos a regra do quociente, que diz:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $. Para isso, vamos derivar $ f’(x) = \frac{8x}{(x^{2} + 4)^{2}} $ novamente usando a regra do quociente.
Passo 6
Identificamos novamente $ u(x) = 8x $ e $ v(x) = (x^{2} + 4)^{2} $. Derivando:
Passo 7
Aplicando a regra do quociente para a segunda derivada:
Passo 8
Vamos simplificar o numerador:
Passo 9
Portanto, a segunda derivada fica:
Resposta
A segunda derivada de $ f(x) $ é: