Considere a função f(x)=x^2x^2+4.
Encontre a derivada segunda de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos este exercício! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}+4} $ e precisa encontrar a segunda derivada dela. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções racionais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A função é um quociente de duas funções: $ u(x) = x^{2} $ e $ v(x) = x^{2} + 4 $. Para derivar um quociente, usamos a regra do quociente, que diz:
f(x)

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
u(x)
v(x)

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = (2x)(x^2 + 4) - (x^2)(2x)(x^2 + 4)^2
Simplificando o numerador:
f'(x) = 2x^3 + 8x - 2x^3(x^2 + 4)^2 = 8x(x^2 + 4)^2

Passo 5

Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $. Para isso, vamos derivar $ f’(x) = \frac{8x}{(x^{2} + 4)^{2}} $ novamente usando a regra do quociente.

Passo 6

Identificamos novamente $ u(x) = 8x $ e $ v(x) = (x^{2} + 4)^{2} $. Derivando:
u(x) = 8x
v(x) = (x^2 + 4)^2

Passo 7

Aplicando a regra do quociente para a segunda derivada:
f''(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2 = 8(x^2 + 4)^2 - 8x cdot 4x(x^2 + 4)(x^2 + 4)^4

Passo 8

Vamos simplificar o numerador:
8(x^2 + 4)^2 - 32x^2(x^2 + 4) = 8(x^2 + 4)[x^2 + 4 - 4x^2] = 8(x^2 + 4)(-3x^2 + 4)

Passo 9

Portanto, a segunda derivada fica:
f''(x) = 8(-3x^2 + 4)(x^2 + 4)^3 = 8(4 - 3x^2)(x^2 + 4)^3

Resposta

A segunda derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

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