Determine os máximos e mínimos da função f na superfície dada
f(x, y, z)=x y-z; superfície (x^2+y^2)^2+z^2=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função f(x,y,z)=xy - z sujeita à restrição (x^2+y^2)^2 + z^2 = 1. Isso é um problema de otimização com restrição, então vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange: introduzimos g(x,y,z) = (x^2+y^2)^2 + z^2 -1 = 0 e igualamos nabla f = lambda,nabla g.

Passo 2

Primeiro, calculamos os gradientes:
nabla f = l(,y,;x,;-1r), nabla g = l(4x(x^2+y^2),;4y(x^2+y^2),;2zr)
O sistema de Lagrange fica então
y = lambda,4xR^2, x = lambda,4yR^2, -1 = lambda,2z, R^2 = x^2+y^2, R^4+z^2=1

Passo 3

Supondo xneq0 e yneq0, dividindo as duas primeiras equações obtemos
yx = 4lambda xR^24lambda yR^2 = xy implies y^2 = x^2 implies y=pm x
Multiplicando as duas primeiras equações ainda dá 1 = 16lambda^2R^4, logo lambda^2=1/(16R^4). Da terceira equação -1=2lambda z vem z=-1/(2lambda). Substituindo na restrição
R^4 + l(tfrac-12lambdar)^2 =1,
com lambda^2=1/(16R^4) achamos R^4=1/5 e z^2=4/5, ou seja
R^2=1/raiz5, z=pm2raiz5, y=pm x, x^2=R^22=12raiz5
Isso gera quatro pontos críticos: dois com y=x e z=-2/raiz5, e dois com y=-x e z=2/raiz5, onde x=pm1/raiz2raiz5.

Passo 4

Agora avaliamos f em cada tipo de ponto:
  • Se y=x e z=-2/raiz5, então f= x^2 -z = tfrac12raiz5 + tfrac2raiz5 = tfracraiz52
  • Se y=-x e z=2/raiz5, então f= -x^2 -z = -tfrac12raiz5 - tfrac2raiz5 = -tfracraiz52
    Também conferimos o caso degenerado x=y=0, z=pm1 que dá f=mp1, mas esses valores são intermediários.
    Portanto, os extremos globais são pmtfracraiz52.

Resposta

Máximo global: f=tfracraiz52 nos pontos l(pmtfrac1raiz2raiz5,pmtfrac1raiz2raiz5,-tfrac2raiz5r) com o mesmo sinal em x,y.
Mínimo global: f=-tfracraiz52 nos pontos l(pmtfrac1raiz2raiz5,mptfrac1raiz2raiz5,tfrac2raiz5r) com sinais opostos em x,y.

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