Determine os máximos e mínimos da função f na superfície dada
; superfície
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função
sujeita à restrição
. Isso é um problema de otimização com restrição, então vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange: introduzimos
e igualamos
.
Passo 2
Primeiro, calculamos os gradientes:
O sistema de Lagrange fica então
Passo 3
Supondo
e
, dividindo as duas primeiras equações obtemos
Multiplicando as duas primeiras equações ainda dá
com
achamos
e
, ou seja
Isso gera quatro pontos críticos: dois com
Passo 4
Agora avaliamos
em cada tipo de ponto:
- Se
e , então - Se
e , então
Também conferimos o caso degeneradoque dá , mas esses valores são intermediários.
Portanto, os extremos globais são.
Resposta
Máximo global:
nos pontos
com o mesmo sinal em
.
Mínimo global: nos pontos
com sinais opostos em
.
Mínimo global: