Considere a função f(x)=x^2x^2-1.
Calcule suas derivadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} - 1} $ e precisa calcular suas derivadas. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como derivar funções que são frações, usando a Regra do Quociente. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra do Quociente. Se você tem uma função na forma $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada dela é:
u(x)v(x)
Ou seja, a derivada do numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 3

Agora, vamos identificar $ u(x) $ e $ v(x) $ na nossa função:
u(x)
Vamos calcular as derivadas de cada um:
v(x)
u(x) = x^2 e v(x) = x^2 - 1

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente:
f'(x) = 2x cdot (x^2 - 1) - x^2 cdot 2x(x^2 - 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
2x(x^2 - 1) = 2x^3 - 2x
x^2 cdot 2x = 2x^3
Substituindo de volta:
f'(x) = (2x^3 - 2x) - 2x^3(x^2 - 1)^2 = -2x(x^2 - 1)^2

Resposta

A primeira derivada da função é:
f'(x) = -2x(x^2 - 1)^2

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