Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+2 y^prime+alpha y=0
Para alpha<1.1.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + alpha y = 0
O conteúdo é meta resolver via equação característica, e vamos precisar analisar o discriminante para ver se as raízes são reais ou complexas.

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada,
r^2 + 2r + alpha = 0
O discriminante é
De
A partir do sinal de De (isto é, de 1-alpha) vamos separar os casos.

Passo 3

Caso 1: alpha < 1.
Aqui De 0 e as raízes são reais e distintas:
r1,2 = -1 pm raiz1-alpha
Pelo teorema de superposição a solução geral é
y(x) = C1 e^(-1+raiz1-alpha)x + C2 e^(-1-raiz1-alpha)x

Passo 4

Caso 2: alpha = 1.
Aqui De e temos raiz dupla r = -1.
Nesse caso a forma da solução fica
y(x) = (C1 + C2 x)e^-x

Passo 5

Caso 3: 1 < alpha < 1.1.
Agora De e as raízes são complexas:
r = -1 pm iraizalpha - 1
Definindo omega = raizalpha - 1, a solução real geral é
y(x) = e^-xl(C1 cos(omega x) + C2 sin(omega x)r)

Resposta

Para α<1:
y(x) = C1 e^(-1+raiz1-alpha)x + C2 e^(-1-raiz1-alpha)x
Para α=1:
y(x) = (C1 + C2 x)e^-x
Para 1<α<1.1:
y(x) = e^-xl(C1cos(raizalpha-1,x) + C2sin(raizalpha-1,x)r)

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