Encontre a solução geral da equação
Para
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é meta resolver via equação característica, e vamos precisar analisar o discriminante para ver se as raízes são reais ou complexas.
Passo 2
Escrevendo a equação característica associada,
O discriminante é
A partir do sinal de
(isto é, de
) vamos separar os casos.
Passo 3
Caso 1:
.
Aqui e as raízes são reais e distintas:
Aqui
Pelo teorema de superposição a solução geral é
Passo 4
Caso 2:
.
Aqui e temos raiz dupla
.
Nesse caso a forma da solução fica
Aqui
Nesse caso a forma da solução fica
Passo 5
Caso 3:
.
Agora e as raízes são complexas:
Agora
Definindo
, a solução real geral é
Resposta
Para α<1:
Para α=1:
Para 1<α<1.1: