Utilizando o Método de Newton-Raphson, determine as raízes das funções elencadas abaixo dados seus respectivos intervalos. Verifique a Pertinência das raízes em seus respectivos intervalos utilizando o Teorema de Bolzano. Utilize todas as casas decimais da calculadora. Como critério de parada utilize 5 iterações, se possível. Compute o erro numérico de cada iteração como sendo o módulo da função para a raiz aproximada, ou seja,
. Apresente as respostas finais aproximadas acompanhadas do respectivo erro numérico.
3-)
, pertencente ao intervalo
.
3-)
Passo 1
Temos a função f(x)=LOG₁₀(x)+x² no intervalo I=[0.1;5]. O conteúdo é método de Newton–Raphson para encontrar raízes de equações não lineares, e vamos precisar usar o Teorema de Bolzano para garantir que exista raiz dentro do intervalo, além da fórmula de iteração de Newton.
Passo 2
Pelo Teorema de Bolzano, avaliamos f nos extremos: f(0.1)=LOG₁₀(0.1)+(0.1)²=-1+0.01=-0.99<0 e f(5)=LOG₁₀(5)+25≈0.69897+25=25.69897>0. Como f(0.1)·f(5)<0, existe pelo menos uma raiz em (0.1,5).
Passo 3
Derivamos f para usar no método de Newton. Temos
Passo 4
Escolhemos como aproximação inicial o ponto médio do intervalo: x₀=(0.1+5)/2=2.55.
Passo 5
Aplicamos 5 iterações de Newton–Raphson e calculamos o erro numérico ε_k=|f(x_k)| em cada passo. Usando ln10≈2.302585:
Iteração 0: x₀=2.550000, f(x₀)=6.908924 → ε₀=6.908924
Iteração 1: x₁=1.238894, f(x₁)=1.627892 → ε₁=1.627892
Iteração 2: x₂=0.663260, f(x₂)=0.261591 → ε₂=0.261591
Iteração 3: x₃=0.531195, f(x₃)=0.007458 → ε₃=0.007458
Iteração 4: x₄=0.527227, f(x₄)=-0.000369 → ε₄=0.000369
Iteração 5: x₅=0.527423, f(x₅)=0.000044 → ε₅=0.000044
Iteração 0: x₀=2.550000, f(x₀)=6.908924 → ε₀=6.908924
Iteração 1: x₁=1.238894, f(x₁)=1.627892 → ε₁=1.627892
Iteração 2: x₂=0.663260, f(x₂)=0.261591 → ε₂=0.261591
Iteração 3: x₃=0.531195, f(x₃)=0.007458 → ε₃=0.007458
Iteração 4: x₄=0.527227, f(x₄)=-0.000369 → ε₄=0.000369
Iteração 5: x₅=0.527423, f(x₅)=0.000044 → ε₅=0.000044
Resposta
A raiz aproximada após 5 iterações é
, com erro numérico
.