Considere a função
. Sendo a região de domínio dada por
.
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro de
em torno da reta horizontal
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = 2 + x^{2} $ definida no intervalo de $ 0 \leq x \leq 4 $. Queremos descobrir o volume do sólido que forma quando giramos essa função em torno da reta horizontal $ y = 1 $. Para isso, vamos usar o método dos discos da geometria do cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distância entre a função $ f(x) $ e a reta $ y = 1 $, que será o raio do nosso disco. Essa distância é dada por:
Então, o raio do disco em cada ponto $ x $ é $ 1 + x^{2} $.
Passo 3
O volume de um disco é calculado pela fórmula da área da base vezes a espessura. A área da base é $ \pi \times (raio)^{2} $, então temos:
Aqui, $ dx $ representa a espessura infinitesimal do disco.
Passo 4
Para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar todos esses discos de $ x = 0 $ até $ x = 4 $. Isso é feito integrando a expressão acima:
Passo 5
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 7
Substituindo os limites de integração:
Passo 8
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Então:
Resposta
O volume do sólido de revolução é aproximadamente $ 790.11 $ unidades cúbicas.