Considere a função f(x)=2+x^2. Sendo a região de domínio dada por 0 <= x <= 4.
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro de f(x) em torno da reta horizontal y=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = 2 + x^{2} $ definida no intervalo de $ 0 \leq x \leq 4 $. Queremos descobrir o volume do sólido que forma quando giramos essa função em torno da reta horizontal $ y = 1 $. Para isso, vamos usar o método dos discos da geometria do cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distância entre a função $ f(x) $ e a reta $ y = 1 $, que será o raio do nosso disco. Essa distância é dada por:
f(x)
Então, o raio do disco em cada ponto $ x $ é $ 1 + x^{2} $.

Passo 3

O volume de um disco é calculado pela fórmula da área da base vezes a espessura. A área da base é $ \pi \times (raio)^{2} $, então temos:
pi times (raio)^2
Aqui, $ dx $ representa a espessura infinitesimal do disco.

Passo 4

Para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar todos esses discos de $ x = 0 $ até $ x = 4 $. Isso é feito integrando a expressão acima:
x = 0

Passo 5

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
(1 + x^2)^2 = 1 + 2x^2 + x^4
Então, a integral fica:
V = pi integral0^4 (1 + 2x^2 + x^4) dx

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (1) dx = x
integral 2x^2 dx = 23x^3
integral x^4 dx = 15x^5
Portanto:
V = pi [ x + 23x^3 + 15x^5 ]0^4

Passo 7

Substituindo os limites de integração:
V = pi ( 4 + 23(4)^3 + 15(4)^5 - (0 + 23(0)^3 + 15(0)^5) )
V = pi ( 4 + 23 times 64 + 15 times 1024 )
V = pi ( 4 + 1283 + 10245 )

Passo 8

Vamos calcular cada termo:
1283 approx 42.67
10245 = 204.8
Somando tudo:
4 + 42.67 + 204.8 = 251.47
Então:
V approx pi times 251.47 approx 790.11 , unidades cúbicas ú

Resposta

O volume do sólido de revolução é aproximadamente $ 790.11 $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados