Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
4 y^prime prime+7 y^prime+3 y=0, y(0)=6-4, y^prime(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de valor inicial: 4 y'' + 7 y' + 3 y = 0, com as condições iniciais y(0) = 6 - 4 e y'(0) = 3. Aqui, a matéria envolvida é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar descobrir as soluções da equação homogênea e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo a y'' + b y' + c y = 0, a equação característica é a r^2 + b r + c = 0. No nosso caso, temos:
4 r^2 + 7 r + 3 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
a = 4, b = 7, c = 3
r = -7 pm raiz7^2 - 4 cdot 4 cdot 32 cdot 4 = -7 pm raiz49 - 488 = -7 pm 18
Então, temos duas raízes reais e distintas:
r1 = -7 + 18 = -68 = -34, r2 = -7 - 18 = -88 = -1

Passo 4

Com as raízes reais e distintas r1 = -34 e r2 = -1, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^-34 t + C2 e^-t
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial y(0) = 6 - 4 = 2:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 2 Rightarrow C1 + C2 = 2 (1)

Passo 6

Agora, vamos derivar a expressão de y(t) para encontrar y'(t):
y'(t) = -34 C1 e^-34 t - C2 e^-t
Aplicando a segunda condição inicial y'(0) = 3:
y'(0) = -34 C1 - C2 = 3 Rightarrow -34 C1 - C2 = 3 (2)

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 2 (1) -34 C1 - C2 = 3 (2)
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1), podemos expressar C2 = 2 - C1 e substituir na equação (2):
-34 C1 - (2 - C1) = 3 -34 C1 - 2 + C1 = 3 (-34 + 1) C1 - 2 = 3 14 C1 = 5 C1 = 20
Então, C2 = 2 - 20 = -18.

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(t) = 20, e^-34 t - 18, e^-t

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