Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de valor inicial:
, com as condições iniciais
e
. Aqui, a matéria envolvida é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar descobrir as soluções da equação homogênea e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas raízes reais e distintas:
Passo 4
Com as raízes reais e distintas
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Passo 6
Agora, vamos derivar a expressão de
para encontrar
:
Aplicando a segunda condição inicial
:
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1), podemos expressar
e substituir na equação (2):
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: