Considere a função f(x)=x^2+xx+1. Considere as afirmativas a seguir.
a) i. e iii.
b) i.
c) i. eii.
d) ii.
e) NDA
i) Seu domínio são todos os números reais.
ii) Sua imagem são todos os números reais.
iii) f(-t)=t^2-t1-t.
Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^2+xx+1 e pede para avaliar três afirmativas sobre domínio, imagem e expressão de f(-t). Vamos precisar lembrar como encontrar domínio (evitar divisor zero), simplificar a expressão para ver a imagem e substituir x=-t.

Passo 2

Para o domínio de f, precisamos que o denominador não seja zero, ou seja, x+1 neq 0. Logo, x neq -1. Isso mostra que o domínio é Rsetminus-1, não todos os reais, então a afirmativa i) é falsa.

Passo 3

Para a imagem, note que dá para simplificar a fração:
x^2+xx+1 = x cdot x+1x+1 = x, x neq -1
Assim, f(x)=x para todo xneq -1. Logo, qualquer valor real yneq -1 é atingido com x=y, mas y=-1 não ocorre porque exigir x=-1 é proibido. Assim, a imagem é Rsetminus-1, não todos os reais, e ii) é falsa.

Passo 4

Calculando f(-t), temos:
f(-t) = (-t)^2 + (-t)-t + 1 = t^2 - t1 - t
Isso coincide com a afirmativa iii), que é verdadeira. Portanto, apenas iii) é verdadeira.

Resposta

NDA

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