Calcule as integrais indefinidas:
integral tan (theta) cdot d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de tan(theta),dtheta. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas e vamos usar a identidade tan(theta)=dfracsin(theta)cos(theta) junto com substituição para transformar em uma integral do tipo integral u^-1du.

Passo 2

Começamos reescrevendo tan(theta) em termos de seno e cosseno:
integral tan(theta),dtheta = integral sin(theta)cos(theta),dtheta
Essa forma sugere usar substituição porque o denominador é cos(theta) e o numerador é sua derivada (a menos de um sinal).

Passo 3

Fazemos a substituição u=cos(theta). Então
du = -sin(theta),dtheta Longrightarrow -du = sin(theta),dtheta
Substituindo na integral temos
integral sin(theta)cos(theta),dtheta = integral -duu = -integral duu

Passo 4

Agora a integral de 1/u é um logaritmo natural. Logo,
-integral duu = -lnl|ur| + C
Voltando à variável original theta, temos u=cos(theta).

Resposta

-ln|cos(theta)| + C (equivalente a ln|sec(theta)| + C)

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