Questão 22: Calcule integral0^1 integral2 y^2 4 e^x^2 d x d y

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral dupla integraly=0^1 integralx=2y^2 4e^x^2,dx,dy. O conteúdo central aqui é troca de ordem de integração em integrais duplas, usando a ideia de Fubini, e depois uma integral simples por substituição.

Passo 2

Para trocar a ordem, primeiro descrevemos a região de integração no plano (x,y). Temos 0<= y<=1 e, para cada y, 2y<= x<=2. Em outras palavras, o conjunto D=(x,y):0<= y<=1, 2y<= x<=2.
Vamos inverter a ordem: para um dado x, quais valores y assume? Como 2y<= x y<= x/2, e ainda y>=0. Além disso, o menor x ocorre quando y=0 (isto é, x>=0), e o maior x é 2. Logo 0<= x<=2 e, para cada x, 0<= y<= x/2.

Passo 3

Reescrevendo a integral na nova ordem, fica

Passo 4

Agora integramos primeiro em y. Como a função interna não depende de y,

Passo 5

Então a integral fica

Passo 6

Para calcular integral0^22x e^x^2,dx, usamos a substituição u = x^2, du = 2x,dx. Assim

Resposta

e^4-1

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