Questão 22: Calcule
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral dupla
. O conteúdo central aqui é troca de ordem de integração em integrais duplas, usando a ideia de Fubini, e depois uma integral simples por substituição.
Passo 2
Para trocar a ordem, primeiro descrevemos a região de integração no plano
. Temos
e, para cada
,
. Em outras palavras, o conjunto
.
Vamos inverter a ordem: para um dado , quais valores
assume? Como
dá
, e ainda
. Além disso, o menor
ocorre quando
(isto é,
), e o maior
é 2. Logo
e, para cada
,
.
Vamos inverter a ordem: para um dado
Passo 3
Reescrevendo a integral na nova ordem, fica
Passo 4
Agora integramos primeiro em
. Como a função interna não depende de
,
Passo 5
Então a integral fica
Passo 6
Para calcular
, usamos a substituição
,
. Assim