Considere a função
, onde
é uma variável real.
(a) Mostre que
diverge e, portanto,
diverge.
(b) Mostre que
(a) Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para estudar dois integras impróprios. Na parte (a) vamos usar o teste de comparação em
para mostrar que
diverge. Na parte (b) vamos reconhecer que
é a derivada de
e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular
.
Passo 2
Para mostrar que
diverge, analisamos o comportamento para
grande. Para
vale
Logo, para
,
Como
diverge (é proporcional a
), pelo teste de comparação segue que
diverge. Logo
diverge.
Passo 3
Se
diverge, então necessariamente
também diverge, pois qualquer integral sobre contém o trecho de
a
.
Passo 4
Para a parte (b), notamos que
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Isto vale para todo
, portanto
.
Resposta
(a)
diverge e assim
diverge.
(b) .
(b)