Considere a função f(x)=2 x^3raizx^4+1, onde x é uma variável real.
(a) Mostre que integral0^infty f(x) d x diverge e, portanto, integral-infty^infty f(x) d x diverge.
(b) Mostre que lim b infty integral-b^b f(x) d x=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=2x^3raizx^4+1,
e pede para estudar dois integras impróprios. Na parte (a) vamos usar o teste de comparação em xtoinfty para mostrar que
integral0^inftyf(x),dx diverge. Na parte (b) vamos reconhecer que f é a derivada de raizx^4+1 e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular integral-b^bf(x),dx.

Passo 2

Para mostrar que integral0^inftyf(x),dx diverge, analisamos o comportamento para x grande. Para x>=1 vale
x^4+1<= x^4+x^4=2x^4 Longrightarrow raizx^4+1<=raiz2,x^2
Logo, para x>=1,
f(x) =2x^3raizx^4+1 >=2x^3raiz2,x^2 =raiz2,x
Como integral1^inftyraiz2,x,dx diverge (é proporcional a integral x,dx), pelo teste de comparação segue que
integral1^inftyf(x),dx diverge. Logo
integral0^inftyf(x),dx diverge.

Passo 3

Se diverge, então necessariamente
também diverge, pois qualquer integral sobre contém o trecho de a .

Passo 4

Para a parte (b), notamos que
ddxraizx^4+1 =12raizx^4+1cdot4x^3 =2x^3raizx^4+1 =f(x)
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral-b^bf(x),dx =l[raizx^4+1r]-b^b =raizb^4+1-raiz(-b)^4+1 =raizb^4+1-raizb^4+1 =0
Isto vale para todo b>0, portanto
limbtoinftyintegral-b^bf(x),dx=0.

Resposta

(a) integral0^inftyf(x),dx diverge e assim integral-infty^inftyf(x),dx diverge.
(b) limbtoinftyintegral-b^bf(x),dx=0.

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