Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
x=sin (1y)

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
x = sin!l(tfrac1yr)
e pede y'=f'(x). O conteúdo aqui é derivada implícita: vamos derivar ambos os lados em relação a x e depois isolar y'.

Passo 2

Derivando os dois lados em relação a x, obtemos
ddx(x) ;=;ddxl[sin!l(tfrac1yr)r]
O lado esquerdo dá 1. No direito usamos a regra da cadeia:
ddxl[sin!l(tfrac1yr)r] =cos!l(tfrac1yr),ddx!l(tfrac1yr)

Passo 3

Agora calculamos ddx(1/y). Como y=y(x),
ddx!l(tfrac1yr) =-1y^2;y'
Substituindo em cima:
1 = cos!l(tfrac1yr),l(-1y^2,y'r) =-y'y^2;cos!l(tfrac1yr)

Passo 4

Basta agora isolar y'. A equação
1 = -y'y^2;cos!l(tfrac1yr)
implica
-;y',cos!l(tfrac1yr)=y^2 Longrightarrow y'=-y^2cos!l(tfrac1yr)

Resposta

y'=-y^2cosl(tfrac1yr)

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