Verificar se a função a seguir é contínua em P(0,0).
f(x, y)=cx^2-y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 1, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x^2-y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 1,&(x,y)=(0,0),
e pede para verificar se ela é contínua em P=(0,0). Para isso, precisamos checar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=1.

Passo 2

Vamos aproximar (x,y) de (0,0) por dois caminhos distintos:
  1. y=0.
  2. y=x.

Passo 3

Calcular o valor de f em cada caminho e seu limite:
Para y=0:
f(x,0)=x^2-0^2x^2+0^2=1 Longrightarrow limxto0f(x,0)=1
Para y=x:
f(x,x)=x^2-x^2x^2+x^2 =02x^2=0 Longrightarrow limxto0f(x,x)=0

Passo 4

Como os limites ao longo de y=0 e de y=x são diferentes ( 1neq0), o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe. Logo, não coincide com f(0,0)=1 e a função não é contínua em P(0,0).

Resposta

A função não é contínua em P(0,0).

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