Considere a função f(x)=x^3+x^2-2 x. Determine:
Concavidade e Pontos de Inflexão;

Passo 1

O exercício pede para achar a concavidade e os pontos de inflexão da função f(x)=x^3 + x^2 -2x. O conteúdo aqui é análise de concavidade usando derivada de segunda ordem, então vamos precisar de f'(x) e f''(x).

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada primeira. Para f(x)=x^3 + x^2 -2x, aplicando a regra potência, temos:
f'(x)=3x^2 +2x -2
Isso nos prepara para obter a segunda derivada.

Passo 3

Agora calculamos a derivada segunda. Derivando f'(x)=3x^2 +2x -2, obtemos:
f''(x)=6x +2

Passo 4

Encontramos onde a concavidade muda resolvendo f''(x)=0. Assim:
6x+2=0implies x=-tfrac13
Em seguida, analisamos o sinal de f''(x): para x< -tfrac13 temos 6x+2<0, logo concavidade para baixo; para x> -tfrac13 temos 6x+2>0, logo concavidade para cima.

Passo 5

O ponto de inflexão ocorre em x=-tfrac13. Para achar a coordenada y, calculamos f(-tfrac13):
f(-tfrac13)=-tfrac127+tfrac19+tfrac23=tfrac2027
Assim, o ponto de inflexão é l(-tfrac13,tfrac2027r).

Resposta

A função é côncava para baixo em (-tfrac13,infty) e côncava para cima em l(-tfrac13,tfrac2027r). O ponto de inflexão é .

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