Considere a função f(x)=x^3+x^2-2 x. Determine:
Intervalos de crescimento e decrescimento;

Passo 1

A função dada é f(x)=x3+x2−2x e queremos achar onde ela cresce ou decresce. Isso é conteúdo de monotonicidade de funções e vamos precisar calcular a derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando as regras de potência. Temos
f'(x)=ddx(x^3)+ddx(x^2)-ddx(2x)=3x^2+2x-2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f’(x)=0. Isso dá a equação quadrática 3x^2+2x−2=0. Então
x=-2pmraiz2^2-4cdot3cdot(-2)2cdot3=-2pmraiz4+246=-2pmraiz286=-1pmraiz73

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f’(x) em cada intervalo determinado por esses dois pontos:
  • Para x< tfrac-1-raiz73, teste x=−2: f’(−2)=3·4+2·(−2)−2=12−4−2=6>0, então f aumenta aí.
  • Para tfrac-1-raiz73, teste x=0: f’(0)=−2<0, então f decresce nesse intervalo.
  • Para x> tfrac-1+raiz73, teste x=1: f’(1)=3+2−2=3>0, então f volta a crescer.

Passo 5

Com isso já podemos ver claramente os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

Resposta

f cresce em ( -infty, tfrac-1-raiz73 )cup( tfrac-1+raiz73, infty ) e decresce em ( tfrac-1-raiz73, tfrac-1+raiz73 ).

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