Considere a função f(x)=x^3+x^2-2 x. Determine:
Máximos e Mínimos locais;

Passo 1

A função dada é f(x)=x{3}+x{2}-2x. O conteúdo que vamos usar é derivada e teste da segunda derivada para achar extremos locais, ou seja, precisamos de f’(x) e f’’(x).

Passo 2

Calcular a derivada de f e encontrar os pontos críticos resolvendo f’(x)=0. Temos
f'(x)=3x^2+2x-2
Para achar os pontos críticos, resolvemos
3x^2+2x-2=0
Usando fórmula de Bhaskara:
x=-2pmraiz2^2-4cdot3cdot(-2)2cdot3=-2pmraiz4+246=-2pm2raiz76=-1pmraiz73
Assim, os pontos críticos são x_{1}=(-1-\sqrt{7})/3 e x_{2}=(-1+\sqrt{7})/3.

Passo 3

Calcular a segunda derivada para classificar os pontos críticos. Temos
f''(x)=ddx(3x^2+2x-2)=6x+2

Passo 4

Avaliar f’’(x) em cada ponto e classificar. Para x_{1}=(-1-\sqrt{7})/3:
f''l(x1r)=6cdot-1-raiz73+2=-2(1+raiz7)+2=-2-2raiz7+2=-2raiz7<0
Logo, é máximo local. O valor de f nesse ponto é
fl(x1r)=20+14raiz727
Para x_{2}=(-1+\sqrt{7})/3:
f''l(x2r)=6cdot-1+raiz73+2=2(-1+raiz7)+2=-2+2raiz7+2=2raiz7>0
Logo, é mínimo local. O valor de f nesse ponto é
fl(x2r)=20-14raiz727

Resposta

Máximo local em x = (-1-√7)/3 com f(x)= (20+14√7)/27; Mínimo local em x = (−1+√7)/3 com f(x)= (20−14√7)/27.

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