Seja z=f(x, y) uma função de duas variáveis e x=g(t), y=h(t) funções de uma variável t . A derivada total de z em relação a t é dada por:
Escolha uma opção:a. d zd t=partial fpartial y cdot d hd tb. d zd t=partial fpartial x cdot d gd t+partial fpartial y cdot d hd tc. d zd t=partial fpartial x cdot d gd t+partial fpartial y cdot d hd t+partial fpartial z cdot d zd td. d zd t=partial fpartial x+partial fpartial ye. d zd t=partial fpartial x cdot d gd t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função $ z = f(x, y) $ que depende de duas variáveis, $ x $ e $ y $. Mas essas variáveis também dependem de outra variável, $ t $, através das funções $ x = g(t) $ e $ y = h(t) $. A questão quer saber qual das alternativas representa corretamente a derivada total de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada total e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada total. Quando temos uma função que depende de várias variáveis, que por sua vez dependem de uma outra variável, a derivada total nos mostra como a função muda em relação a essa última variável. No nosso caso, $ z $ depende de $ x $ e $ y $, e $ x $ e $ y $ dependem de $ t $.

Passo 3

Para calcular $ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} $, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada total é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas das variáveis internas. Matematicamente, fica assim:
d zd t

Passo 4

Agora, olhando para as opções oferecidas no exercício:
a. Só inclui a parte com $ y $, faltando a parte com $ x $.
b. Inclui ambas as partes, com $ x $ e $ y $, exatamente como derivamos.
c. Adiciona uma terceira parte com $ \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} $, que não faz sentido nesse contexto porque $ z $ já está sendo derivado em relação a $ t $.
d. Só soma as derivadas parciais sem multiplicar pelas derivadas de $ x $ e $ y $, o que está incorreto.
e. Inclui apenas a parte com $ x $, faltando a parte com $ y $.

Resposta

A opção b.
d zd t = partial fpartial x cdot d gd t + partial fpartial y cdot d hd t

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