Seja
uma função de duas variáveis e
funções de uma variável t . A derivada total de z em relação a t é dada por:
Escolha uma opção:a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:a.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função $ z = f(x, y) $ que depende de duas variáveis, $ x $ e $ y $. Mas essas variáveis também dependem de outra variável, $ t $, através das funções $ x = g(t) $ e $ y = h(t) $. A questão quer saber qual das alternativas representa corretamente a derivada total de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada total e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada total. Quando temos uma função que depende de várias variáveis, que por sua vez dependem de uma outra variável, a derivada total nos mostra como a função muda em relação a essa última variável. No nosso caso, $ z $ depende de $ x $ e $ y $, e $ x $ e $ y $ dependem de $ t $.
Passo 3
Para calcular $ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} $, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada total é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas das variáveis internas. Matematicamente, fica assim:
Passo 4
Agora, olhando para as opções oferecidas no exercício:
a. Só inclui a parte com $ y $, faltando a parte com $ x $.
b. Inclui ambas as partes, com $ x $ e $ y $, exatamente como derivamos.
c. Adiciona uma terceira parte com $ \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} $, que não faz sentido nesse contexto porque $ z $ já está sendo derivado em relação a $ t $.
d. Só soma as derivadas parciais sem multiplicar pelas derivadas de $ x $ e $ y $, o que está incorreto.
e. Inclui apenas a parte com $ x $, faltando a parte com $ y $.
Resposta
A opção b.