Considere a função f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 e calcule:
a) Domínio.
b) Interseçōes com os eixos coordenados.
c) Se a função é par, impar ou nem par nem ímpar.
d) As assíntotas, se houver.
e) Intervalos de crescimento e decrescimento.
f) Valores máximos e mínimos locais.
g) Concavidade e pontos de inflexão.
h) Faça o esboço da curva indicando os valores máximo e mínimos locais, os pontos de inflexāo, e as interseções com eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-3x^{2}+4 e pede oito coisas. Vou listar claramente cada pergunta e os dados que temos (apenas o que o enunciado fornece):
  • Função dada: f(x)=x^{3}-3x^{2}+4.
  • Perguntas:
    a) Determinar o domínio de f.
    b) Encontrar as interseções com os eixos coordenados (pontos onde a curva cruza os eixos x e y).
    c) Verificar se f é par, ímpar ou nenhuma das duas.
    d) Determinar as assíntotas, se existirem.
    e) Determinar intervalos de crescimento e decrescimento.
    f) Encontrar valores máximos e mínimos locais.
    g) Estudar concavidade e pontos de inflexão.
    h) Fazer o esboço da curva indicando máximos e mínimos locais, pontos de inflexão e interseções com os eixos.
Nada mais foi dado. Vou resolver passo a passo e ensinar os conceitos necessários ao longo do caminho.

Passo 2

a) Domínio.
Explicação didática: o domínio de uma função são os valores de x para os quais a expressão está bem definida. Polinômios (como soma de potências inteiras de x com coeficientes finitos) estão definidos para todo número real; não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo, nem logaritmo, etc.
Conclusão: o domínio é \{x\in\mathbb{R}\}, isto é, todos os números reais.

Passo 3

b) Interseções com os eixos coordenados.
Explicação didática:
  • Interseção com o eixo y ocorre em x=0; o ponto é (0,f(0)).
  • Interseções com o eixo x são raízes da equação f(x)=0; para encontrá-las tentamos fatores racionais pela Regra de Gauss (divisores de termo constante).
Cálculos:
  • f(0)=0^{3}-3\cdot0^{2}+4=4. Logo interseção com o eixo y é (0,4).
  • Procurando raízes racionais possíveis: divisores de 4 são \pm1,\pm2,\pm4. Testando: f(1)=1-3+4=2\quad(\text{não é zero}),ãé
f(-1)=-1-3+4=0.
Então x=-1 é raiz. Fazendo divisão polinomial por (x+1) ou fatoração, obtém-se
x^{3}-3x^{2}+4=(x+1)(x^{2}-4x+4).
Note que x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}. Portanto as raízes são x=-1 (simples) e x=2 (raiz dupla).
Conclusão: interseções com o eixo x em (-1,0) e (2,0); interseção com o eixo y em (0,4).

Passo 4

c) Paridade da função.
Explicação didática: para testar se uma função é par ou ímpar calcula-se f(-x) e compara-se com f(x) e com -f(x).
  • Se f(-x)=f(x) a função é par.
  • Se f(-x)=-f(x) a função é ímpar.
  • Caso contrário, é nem par nem ímpar.
Cálculo:
f(-x)=(-x)^{3}-3(-x)^{2}+4=-x^{3}-3x^{2}+4.
Compare com f(x)=x^{3}-3x^{2}+4 e com -f(x)=-x^{3}+3x^{2}-4. Observa-se que f(-x) não é igual a f(x) nem a -f(x).
Conclusão: f é nem par nem ímpar.

Passo 5

d) Assíntotas.
Explicação didática rápida: assíntotas verticais aparecem quando a função tende a \pm\infty próximo de algum x onde a função não está definida (p.ex. divisão por zero). Assíntotas horizontais/oblíquas tratam do comportamento quando x\to\pm\infty. Polinômios estão definidos para todo x (logo sem assíntotas verticais) e não têm assíntotas horizontais porque tendem a \pm\infty quando o grau é positivo; também não se fala em assíntota oblíqua finita para graus maiores que 1 (às vezes divide-se polinômios, mas o “assíntota linear” só aparece quando a diferença de graus é 1).
Aplicando ao caso:
  • A função é um polinômio de grau 3, definida para todo \mathbb{R}. Não existem pontos onde a função explode por divisão por zero, então não há assíntotas verticais.
  • Como \deg f=3, quando x\to\pm\infty temos f(x)\to\pm\infty (mais precisamente, como o coeficiente líder é positivo, f(x)\to-\infty quando x\to-\infty e f(x)\to+\infty quando x\to+\infty). Não há assíntotas horizontais. Não há assíntotas oblíquas úteis a relatar (não se considera “assíntota polinomial”).
Conclusão: não existem assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas) relevantes; a função não possui assíntotas finitas.

Passo 6

e) Intervalos de crescimento e decrescimento (usando derivada primeira).
Explicação didática: um ponto crítico ocorre quando f'(x)=0 ou f'(x) não existe. Em pontos onde f'(x)>0 a função cresce; onde f'(x)<0 decresce. Para polinômios, f' existe em todo lugar, então buscamos f'(x)=0.
Cálculo da derivada (regra do poder: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}+4\bigr)=3x^{2}-6x.
Fatorando:
f'(x)=3x(x-2).
Solução de f'(x)=0:
3x(x-2)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=2.
Agora o teste de sinal (faixa entre as raízes):
  • Para x<0: x é negativo e x-2 também é negativo, produto 3x(x-2) é positivo. Logo f'(x)>0.
  • Para 0<x<2: x positivo e x-2 negativo, produto negativo, então f'(x)<0.
  • Para x>2: ambos positivos, f'(x)>0.
Conclusão:
  • f é crescente em (-\infty,0) e em (2,\infty).
  • f é decrescente em (0,2).

Passo 7

f) Valores máximos e mínimos locais.
Explicação didática: com o teste do sinal de f' já podemos identificar tipo de extremo:
  • Se f' muda de positivo para negativo em um ponto crítico, temos máximo local.
  • Se f' muda de negativo para positivo, temos mínimo local.
Aplicando aos pontos críticos:
  • Em x=0: f' passa de + (à esquerda) para - (à direita) → máximo local em x=0. Valor: f(0)=4. Ponto de máximo local: (0,4).
  • Em x=2: f' passa de - para + → mínimo local em x=2. Valor: f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+4=8-12+4=0. Ponto de mínimo local: (2,0).
Observação: f(2)=0 é ao mesmo tempo mínimo local e também interseção com eixo x (raiz dupla).

Passo 8

g) Concavidade e pontos de inflexão (usando derivada segunda).
Explicação didática: a segunda derivada f''(x) indica concavidade:
  • Se f''(x)>0 a curva é côncava para cima (como uma tigela).
  • Se f''(x)<0 é côncava para baixo.
    Ponto de inflexão é ponto onde a concavidade muda de sinal; frequentemente encontra-se resolvendo f''(x)=0 e verificando a troca de sinal.
Cálculo:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6x\bigr)=6x-6=6(x-1).
Solução de f''(x)=0:
6(x-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=1.
Teste de sinal:
  • Para x<1: x-1<0 então f''(x)<0 → concavidade para baixo.
  • Para x>1: x-1>0 então f''(x)>0 → concavidade para cima.
Valor no ponto de inflexão:
f(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}+4=1-3+4=2.
Logo ponto de inflexão em (1,2) (há mudança de concavidade).
Conclusão:
  • Concavidade para baixo em (-\infty,1).
  • Concavidade para cima em (1,\infty).
  • Ponto de inflexão em (1,2).

Passo 9

h) Esboço da curva e interpretação geométrica com os pontos importantes.
Resumo dos pontos e comportamentos que devem aparecer no esboço:
  • Raízes/interseções com x: (-1,0) (cruza o eixo) e (2,0) (raiz dupla — toca o eixo e volta).
  • Interseção com y: (0,4).
  • Máximo local: (0,4) (a mesma coordenada do intercepto em y).
  • Mínimo local: (2,0) (também interseção com x).
  • Ponto de inflexão: (1,2).
  • Comportamento nas extremidades: como x\to-\infty, f(x)\to-\infty; como x\to+\infty, f(x)\to+\infty (coeficiente líder positivo, grau ímpar).
Instruções para desenhar (passo a passo, para que consiga reproduzir à mão):
  1. Marque os pontos notáveis: (-1,0), (0,4), (1,2), (2,0).
  2. A partir da esquerda, para x\ll0 a curva vem de -\infty, sobe até cruzar o eixo x em (-1,0), continua subindo até atingir o máximo local em (0,4).
  3. Depois do máximo em x=0 a curva desce para x=2, atravessando os valores intermediários; ela é côncava para baixo até x=1 (logo entre 0 e 1 percebe-se a curvatura voltada para baixo) e passa por (1,2) onde muda de concavidade.
  4. A partir de x=1 até x=2 a curva é côncava para cima e atinge o mínimo local em x=2 com f(2)=0. Como é raiz dupla em x=2, a curva “toca” o eixo x e sobe novamente (não cruza o eixo em x=2).
  5. Para x>2 a curva sobe e segue para +\infty, permanecendo côncava para cima.
Observações úteis para o desenho:
  • O ponto (0,4) é o pico local mais alto próximo à origem; é um máximo relativo (mas não é máximo global, pois a função cresce para +\infty quando x\to+\infty).
  • O ponto (2,0) é um mínimo relativo e coincide com a interseção com o eixo x.
  • A presença de raiz dupla em x=2 torna a tangência ao eixo x mais “achatada” nesse ponto.
  • O ponto de inflexão (1,2) fica exatamente entre 0 e 2 e é onde a curvatura muda.
Se quiser um rascunho rápido em ASCII (apenas indicativo, para posicionar pontos):
y
^
| *
| / \ * = (0,4)
| /
| * /
| \ /
| /
| /\
|/ _____> x
-1 0 1 2
Neste desenho: o pico à esquerda é (0,4), o cruzamento em (-1,0) aparece à esquerda, o ponto de inflexão em x=1 está no meio, e a tangência no eixo em x=2 está à direita antes da curva subir.

Resposta

a) Domínio: \mathbb{R}.
b) Interseções com eixos:
(0,4) (eixo y);
(-1,0) e (2,0) (eixo x; x=2 é raiz dupla).
c) Paridade: nem par nem ímpar.
d) Assíntotas: não há assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas (nenhuma assíntota finita).
e) Crescimento/decrescimento:
  • Crescente em (-\infty,0) e em (2,\infty).
  • Decrescente em (0,2).
f) Extremos locais:
  • Máximo local em (0,4).
  • Mínimo local em (2,0).
g) Concavidade e ponto de inflexão:
  • Côncava para baixo em (-\infty,1).
  • Côncava para cima em (1,\infty).
  • Ponto de inflexão em (1,2).
h) Esboço/descrição do gráfico:
  • A curva vem de -\infty quando x\to-\infty, cruza o eixo x em (-1,0), atinge o máximo local em (0,4), muda de concavidade em (1,2), toca o eixo x em (2,0) (raiz dupla, mínimo local) e sobe para +\infty quando x\to+\infty.

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