Considere a função
e calcule:
a) Domínio.
b) Interseçōes com os eixos coordenados.
c) Se a função é par, impar ou nem par nem ímpar.
d) As assíntotas, se houver.
e) Intervalos de crescimento e decrescimento.
f) Valores máximos e mínimos locais.
g) Concavidade e pontos de inflexão.
h) Faça o esboço da curva indicando os valores máximo e mínimos locais, os pontos de inflexāo, e as interseções com eixos coordenados.
a) Domínio.
b) Interseçōes com os eixos coordenados.
c) Se a função é par, impar ou nem par nem ímpar.
d) As assíntotas, se houver.
e) Intervalos de crescimento e decrescimento.
f) Valores máximos e mínimos locais.
g) Concavidade e pontos de inflexão.
h) Faça o esboço da curva indicando os valores máximo e mínimos locais, os pontos de inflexāo, e as interseções com eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede oito coisas. Vou listar claramente cada pergunta e os dados que temos (apenas o que o enunciado fornece):
- Função dada:
. - Perguntas:
a) Determinar o domínio de.
b) Encontrar as interseções com os eixos coordenados (pontos onde a curva cruza os eixose ).
c) Verificar seé par, ímpar ou nenhuma das duas.
d) Determinar as assíntotas, se existirem.
e) Determinar intervalos de crescimento e decrescimento.
f) Encontrar valores máximos e mínimos locais.
g) Estudar concavidade e pontos de inflexão.
h) Fazer o esboço da curva indicando máximos e mínimos locais, pontos de inflexão e interseções com os eixos.
Nada mais foi dado. Vou resolver passo a passo e ensinar os conceitos necessários ao longo do caminho.
Passo 2
a) Domínio.
Explicação didática: o domínio de uma função são os valores de
para os quais a expressão está bem definida. Polinômios (como soma de potências inteiras de
com coeficientes finitos) estão definidos para todo número real; não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo, nem logaritmo, etc.
Conclusão: o domínio é
, isto é, todos os números reais.
Passo 3
b) Interseções com os eixos coordenados.
Explicação didática:
- Interseção com o eixo
ocorre em ; o ponto é . - Interseções com o eixo
são raízes da equação ; para encontrá-las tentamos fatores racionais pela Regra de Gauss (divisores de termo constante).
Cálculos:
-
. Logo interseção com o eixo é . - Procurando raízes racionais possíveis: divisores de
são . Testando:
Então
é raiz. Fazendo divisão polinomial por
ou fatoração, obtém-se
Note que
. Portanto as raízes são
(simples) e
(raiz dupla).
Conclusão: interseções com o eixo
em
e
; interseção com o eixo
em
.
Passo 4
c) Paridade da função.
Explicação didática: para testar se uma função é par ou ímpar calcula-se
e compara-se com
e com
.
- Se
a função é par. - Se
a função é ímpar. - Caso contrário, é nem par nem ímpar.
Cálculo:
Compare com
e com
. Observa-se que
não é igual a
nem a
.
Conclusão:
é nem par nem ímpar.
Passo 5
d) Assíntotas.
Explicação didática rápida: assíntotas verticais aparecem quando a função tende a
próximo de algum
onde a função não está definida (p.ex. divisão por zero). Assíntotas horizontais/oblíquas tratam do comportamento quando
. Polinômios estão definidos para todo
(logo sem assíntotas verticais) e não têm assíntotas horizontais porque tendem a
quando o grau é positivo; também não se fala em assíntota oblíqua finita para graus maiores que 1 (às vezes divide-se polinômios, mas o “assíntota linear” só aparece quando a diferença de graus é 1).
Aplicando ao caso:
- A função é um polinômio de grau
, definida para todo . Não existem pontos onde a função explode por divisão por zero, então não há assíntotas verticais. - Como
, quando temos (mais precisamente, como o coeficiente líder é positivo, quando e quando ). Não há assíntotas horizontais. Não há assíntotas oblíquas úteis a relatar (não se considera “assíntota polinomial”).
Conclusão: não existem assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas) relevantes; a função não possui assíntotas finitas.
Passo 6
e) Intervalos de crescimento e decrescimento (usando derivada primeira).
Explicação didática: um ponto crítico ocorre quando
ou
não existe. Em pontos onde
a função cresce; onde
decresce. Para polinômios,
existe em todo lugar, então buscamos
.
Cálculo da derivada (regra do poder: se
então
):
Fatorando:
Solução de
:
Agora o teste de sinal (faixa entre as raízes):
- Para
: é negativo e também é negativo, produto é positivo. Logo . - Para
: positivo e negativo, produto negativo, então . - Para
: ambos positivos, .
Conclusão:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
Passo 7
f) Valores máximos e mínimos locais.
Explicação didática: com o teste do sinal de
já podemos identificar tipo de extremo:
- Se
muda de positivo para negativo em um ponto crítico, temos máximo local. - Se
muda de negativo para positivo, temos mínimo local.
Aplicando aos pontos críticos:
- Em
: passa de (à esquerda) para (à direita) → máximo local em . Valor: . Ponto de máximo local: . - Em
: passa de para → mínimo local em . Valor: . Ponto de mínimo local: .
Observação:
é ao mesmo tempo mínimo local e também interseção com eixo
(raiz dupla).
Passo 8
g) Concavidade e pontos de inflexão (usando derivada segunda).
Explicação didática: a segunda derivada
indica concavidade:
- Se
a curva é côncava para cima (como uma tigela). - Se
é côncava para baixo.
Ponto de inflexão é ponto onde a concavidade muda de sinal; frequentemente encontra-se resolvendoe verificando a troca de sinal.
Cálculo:
Solução de
:
Teste de sinal:
- Para
: então → concavidade para baixo. - Para
: então → concavidade para cima.
Valor no ponto de inflexão:
Logo ponto de inflexão em
(há mudança de concavidade).
Conclusão:
- Concavidade para baixo em
. - Concavidade para cima em
. - Ponto de inflexão em
.
Passo 9
h) Esboço da curva e interpretação geométrica com os pontos importantes.
Resumo dos pontos e comportamentos que devem aparecer no esboço:
- Raízes/interseções com
: (cruza o eixo) e (raiz dupla — toca o eixo e volta). - Interseção com
: . - Máximo local:
(a mesma coordenada do intercepto em ). - Mínimo local:
(também interseção com ). - Ponto de inflexão:
. - Comportamento nas extremidades: como
, ; como , (coeficiente líder positivo, grau ímpar).
Instruções para desenhar (passo a passo, para que consiga reproduzir à mão):
- Marque os pontos notáveis:
, , , . - A partir da esquerda, para
a curva vem de , sobe até cruzar o eixo em , continua subindo até atingir o máximo local em . - Depois do máximo em
a curva desce para , atravessando os valores intermediários; ela é côncava para baixo até (logo entre e percebe-se a curvatura voltada para baixo) e passa por onde muda de concavidade. - A partir de
até a curva é côncava para cima e atinge o mínimo local em com . Como é raiz dupla em , a curva “toca” o eixo e sobe novamente (não cruza o eixo em ). - Para
a curva sobe e segue para , permanecendo côncava para cima.
Observações úteis para o desenho:
- O ponto
é o pico local mais alto próximo à origem; é um máximo relativo (mas não é máximo global, pois a função cresce para quando ). - O ponto
é um mínimo relativo e coincide com a interseção com o eixo . - A presença de raiz dupla em
torna a tangência ao eixo mais “achatada” nesse ponto. - O ponto de inflexão
fica exatamente entre e e é onde a curvatura muda.
Se quiser um rascunho rápido em ASCII (apenas indicativo, para posicionar pontos):
y
^
| *
| / \ * = (0,4)
| /
| * /
| \ /
| /
| /\
|/ _____> x
-1 0 1 2
^
| *
| / \ * = (0,4)
| /
| * /
| \ /
| /
| /\
|/ _____> x
-1 0 1 2
Neste desenho: o pico à esquerda é
, o cruzamento em
aparece à esquerda, o ponto de inflexão em
está no meio, e a tangência no eixo em
está à direita antes da curva subir.
Resposta
a) Domínio:
.
b) Interseções com eixos:
(eixo
);
e
(eixo
;
é raiz dupla).
c) Paridade: nem par nem ímpar.
d) Assíntotas: não há assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas (nenhuma assíntota finita).
e) Crescimento/decrescimento:
- Crescente em
e em . - Decrescente em
.
f) Extremos locais:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
.
g) Concavidade e ponto de inflexão:
- Côncava para baixo em
. - Côncava para cima em
. - Ponto de inflexão em
.
h) Esboço/descrição do gráfico:
- A curva vem de
quando , cruza o eixo em , atinge o máximo local em , muda de concavidade em , toca o eixo em (raiz dupla, mínimo local) e sobe para quando .