45. O valor máximo de uma função em uma reta no espaço

A função f(x, y, z)=x y z tem um valor máximo na reta x=20-t, y=t, z=20 ? Se tiver, qual será o valor? Justifique a sua resposta. (Sugestão: Ao longo da reta, w=f (x, y, z) é uma função derivável de t.)

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função f(x,y,z)=x y z.
  • A reta paramétrica definida por
x=20-t,\qquad y=t,\qquad z=20,
onde t é o parâmetro real.
O que é pedido:
  • Determinar se f tem um valor máximo quando restrita a essa reta.
  • Se tiver, encontrar qual é esse valor (e onde ele ocorre, se for útil para justificar).
Observação útil do enunciado: ao longo da reta, a função composta w(t)=f(20-t,t,20) é diferenciável em t.

Passo 2

Primeiro vamos escrever explicitamente a função de uma variável obtida ao substituir a parametrização da reta em f. Isso transforma o problema de máximo no espaço em um problema de máximo de uma função de uma variável, o que é mais simples.
Substituindo x=20-t, y=t e z=20 em f(x,y,z)=xyz obtemos:
w(t)=f(20-t,t,20)=(20-t)\cdot t\cdot 20.
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo:
w(t)=20\bigl((20-t)t\bigr)=20(20t - t^2).
Distribuindo o 20:
w(t)=-20t^2+400t.
Portanto, ao longo da reta a função f reduz-se à função quadrática \;w(t)=-20t^2+400t\; definida para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para achar extremos de uma função diferenciável de uma variável, uma técnica padrão é:
  • calcular a derivada w'(t),
  • encontrar pontos críticos onde w'(t)=0 (ou onde w' não existe),
  • analisar a natureza desses pontos (máximo, mínimo ou ponto de inflexão).
Vamos calcular w'(t). Usando a regra de derivação termo a termo (derivada de at^2 é 2at; derivada de bt é b):
w'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-20t^2+400t\bigr)=-40t+400.
Os pontos críticos satisfazem w'(t)=0. Então:
-40t+400=0 \quad\Longrightarrow\quad -40t=-400 \quad\Longrightarrow\quad t=10.
Assim há um único ponto crítico em t=10. (Não há pontos onde w' deixe de existir, pois w' é polinômio definido em toda a reta.)

Passo 4

Agora temos que decidir se t=10 é máximo ou mínimo. Uma maneira simples é usar a segunda derivada (teste da segunda derivada):
Calcule w''(t):
w''(t)=\frac{d}{dt}(-40t+400)=-40.
Note que w''(t)=-40<0 para todo t. Quando a segunda derivada é negativa num ponto crítico, isso indica que a função é côncava para baixo ali e o ponto crítico é um máximo local. Como aqui w'' é negativa em toda a reta, a função é côncava para baixo em todo o domínio, logo o máximo local em t=10 é também máximo global da função w.
Uma alternativa (sem derivadas) é completar o quadrado na expressão de w, que mostra explicitamente o valor máximo. Fazendo isso:
w(t)=-20t^2+400t=-20\bigl(t^2-20t\bigr)=-20\bigl((t-10)^2-100\bigr)=-20(t-10)^2+2000.
Da forma -20(t-10)^2+2000 fica claro que o termo negativo em (t-10)^2 torna w máximo quando (t-10)^2=0, isto é, em t=10, e o valor máximo é 2000. Essa conclusão coincide com o teste das derivadas.

Passo 5

Calcule o valor máximo explicitamente em t=10. Usando a expressão simples:
w(10)=-20\cdot 10^2+400\cdot 10=-20\cdot100+4000=-2000+4000=2000.
Também podemos ver a quem corresponde esse t na reta: para t=10 temos
x=20-10=10,\qquad y=10,\qquad z=20.
No ponto (x,y,z)=(10,10,20) o produto é f(10,10,20)=10\cdot10\cdot20=2000, consistente com w(10).

Passo 6

Conclusão e justificativa final curta:
  • A função restrita à reta é a quadrática \;w(t)=-20t^2+400t\;, que é côncava para baixo (coeficiente de t^2 negativo).
  • Há um único ponto crítico t=10, que por concavidade é máximo global.
  • O valor máximo é 2000, atingido em t=10 no ponto (10,10,20) da reta.

Resposta

Sim. Valor máximo: 2000 (atingido em (x,y,z)=(10,10,20), para t=10).

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