45. O valor máximo de uma função em uma reta no espaço
A função
tem um valor máximo na reta
? Se tiver, qual será o valor? Justifique a sua resposta. (Sugestão: Ao longo da reta,
é uma função derivável de
.)
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função
. - A reta paramétrica definida por
onde
é o parâmetro real.
O que é pedido:
- Determinar se
tem um valor máximo quando restrita a essa reta. - Se tiver, encontrar qual é esse valor (e onde ele ocorre, se for útil para justificar).
Observação útil do enunciado: ao longo da reta, a função composta
é diferenciável em
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever explicitamente a função de uma variável obtida ao substituir a parametrização da reta em
. Isso transforma o problema de máximo no espaço em um problema de máximo de uma função de uma variável, o que é mais simples.
Substituindo
,
e
em
obtemos:
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Distribuindo o
:
Portanto, ao longo da reta a função
reduz-se à função quadrática
definida para todo
.
Passo 3
Para achar extremos de uma função diferenciável de uma variável, uma técnica padrão é:
- calcular a derivada
, - encontrar pontos críticos onde
(ou onde não existe), - analisar a natureza desses pontos (máximo, mínimo ou ponto de inflexão).
Vamos calcular
. Usando a regra de derivação termo a termo (derivada de
é
; derivada de
é
):
Os pontos críticos satisfazem
. Então:
Assim há um único ponto crítico em
. (Não há pontos onde
deixe de existir, pois
é polinômio definido em toda a reta.)
Passo 4
Agora temos que decidir se
é máximo ou mínimo. Uma maneira simples é usar a segunda derivada (teste da segunda derivada):
Calcule
:
Note que
para todo
. Quando a segunda derivada é negativa num ponto crítico, isso indica que a função é côncava para baixo ali e o ponto crítico é um máximo local. Como aqui
é negativa em toda a reta, a função é côncava para baixo em todo o domínio, logo o máximo local em
é também máximo global da função
.
Uma alternativa (sem derivadas) é completar o quadrado na expressão de
, que mostra explicitamente o valor máximo. Fazendo isso:
Da forma
fica claro que o termo negativo em
torna
máximo quando
, isto é, em
, e o valor máximo é
. Essa conclusão coincide com o teste das derivadas.
Passo 5
Calcule o valor máximo explicitamente em
. Usando a expressão simples:
Também podemos ver a quem corresponde esse
na reta: para
temos
No ponto
o produto é
, consistente com
.
Passo 6
Conclusão e justificativa final curta:
- A função restrita à reta é a quadrática
, que é côncava para baixo (coeficiente de negativo). - Há um único ponto crítico
, que por concavidade é máximo global. - O valor máximo é
, atingido em no ponto da reta.
Resposta
Sim. Valor máximo:
(atingido em
, para
).