Calcule a integral indefinida
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de um polinômio em (que é
) pelo exponencial
. Não há outras condições (constante de integração será adicionada no final).
Informações dadas: a função a integrar é o produto de um polinômio em
Passo 2
Escolha do método: quando aparece um produto entre um polinômio (como
) e uma função que é fácil de integrar derivando/integrando (como
), o método mais direto é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Aqui
e
são partes da integral que escolhemos;
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. Explicando as peças: escolher
de forma que sua derivada
seja mais simples (geralmente polinômios), e escolher
de forma que seja fácil achar
.
Passo 3
Definimos as partes para aplicar a fórmula:
Agora calculamos
e
:
e para
usamos a regra
. No nosso caso
, então
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Colocando o fator constante fora da integral:
Calculamos a integral restante novamente pela regra do exponencial:
Substituindo:
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando. Diferenciando
pelo produto e pela regra da exponencial:
Somando dá
, que é exatamente o integrando — portanto a primitiva está correta.