Calcule a integral indefinida
\int t e^{2 t} d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int t e^{2t}\, dt.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de um polinômio em t (que é t) pelo exponencial e^{2t}. Não há outras condições (constante de integração será adicionada no final).

Passo 2

Escolha do método: quando aparece um produto entre um polinômio (como t) e uma função que é fácil de integrar derivando/integrando (como e^{2t}), o método mais direto é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
\int u\, dv = u v - \int v\, du.
Aqui u e dv são partes da integral que escolhemos; du é a derivada de u vezes dt e v é uma primitiva de dv. Explicando as peças: escolher u de forma que sua derivada du seja mais simples (geralmente polinômios), e escolher dv de forma que seja fácil achar v=\int dv.

Passo 3

Definimos as partes para aplicar a fórmula:
u = t,\qquad dv = e^{2t}\,dt.
Agora calculamos du e v:
du = dt,
e para v usamos a regra \displaystyle \int e^{at}\,dt = \frac{1}{a}e^{at}+C. No nosso caso a=2, então
v = \int e^{2t}\,dt = \frac{1}{2}e^{2t}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int t e^{2t}\,dt = u v - \int v\,du = t\cdot\frac{1}{2}e^{2t} - \int \frac{1}{2}e^{2t}\,dt.
Colocando o fator constante fora da integral:
\int t e^{2t}\,dt = \frac{1}{2}t e^{2t} - \frac{1}{2}\int e^{2t}\,dt.
Calculamos a integral restante novamente pela regra do exponencial:
\int e^{2t}\,dt = \frac{1}{2}e^{2t}.
Substituindo:
\int t e^{2t}\,dt = \frac{1}{2}t e^{2t} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2t} + C = \frac{1}{2}t e^{2t} - \frac{1}{4}e^{2t} + C.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando. Diferenciando \displaystyle \frac{1}{2}t e^{2t} - \frac{1}{4}e^{2t} pelo produto e pela regra da exponencial:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}t e^{2t}\right) = \frac{1}{2}\big(e^{2t}+2t e^{2t}\big)=\frac{1}{2}e^{2t}+t e^{2t},
\frac{d}{dt}\!\left(-\frac{1}{4}e^{2t}\right) = -\frac{1}{4}\cdot 2 e^{2t} = -\frac{1}{2}e^{2t}.
Somando dá t e^{2t}, que é exatamente o integrando — portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}t e^{2t} - \frac{1}{4}e^{2t} + C

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