Considere a integral dupla I=\int_{D} \int x y\left(x^{2}+y^{2}\right) d A,
em que D é a região situada no primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências x^{2}+y^{2}=3 e x^{2}+y^{2}=4 y.
Após escrever I em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, \boldsymbol{I} deve ser escrita como uma única integral dupla, dada por
\boldsymbol{I}=
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b) Tomando y como variável independente, I deve ser escrita como soma de duas integrais duplas, da forma I=I_{1}+I_{2}.
Supondo que os limitantes de integração de \boldsymbol{x} na integral dupla \boldsymbol{I}_{1} são menores ou iguais do que os limitantes de integração de \boldsymbol{x} na integral dupla \boldsymbol{I}_{2}, tem-se que:
a primeira integral dupla é
\boldsymbol{I}_{\mathbf{1}}=
e a segunda integral dupla é
I_{2}=
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c) Ao utilizar coordenadas polares, I também deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, da forma I=I_{3}+I_{4}.
Supondo que os limitantes de integração de \theta na integral dupla I_{3} são menores ou iguais do que os limitantes de integração de \theta na integral dupla I_{4}, tem-se que:
i) os limitantes de integração de I_{3} são:
\theta \in[0, \square]
r \in[0, \square]
ii) os limitantes de integração de I_{4} são:
\theta \in[\square]
r \in[0, \square]
Além disso, após transformar o integrando para coordenadas polares, juntamente com o diferencial de área, obtém-se que
f \cdot d A=\square d r d \theta

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • A integral é I=\iint_{D} x y\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA.
  • A região D é a parte do primeiro quadrante que é interior às duas circunferências x^{2}+y^{2}=3e x^{2}+y^{2}=4y.
  • Precisamos escrever I em coordenadas cartesianas nas duas ordens de integração possíveis:
    • (a) com x variável independente (ou seja dy\,dx), como uma única integral dupla;
    • (b) com y variável independente (ou seja dx\,dy), obtendo I=I_{1}+I_{2} com duas integrais e identificando I_{1} e I_{2};
  • Depois (c) escrever I em coordenadas polares, também como soma I=I_{3}+I_{4}, identificando os limites em \theta e r (com a hipótese sobre a ordem dos limites de \theta) e transformando o integrando com dA.

Passo 2

Encontro dos pontos/curvas que limitam D — interseção das circunferências e formas explícitas das curvas.
  • A curva x^{2}+y^{2}=3 é o círculo centrado na origem com raio \sqrt{3}. No primeiro quadrante usamos a parte com x\ge0,y\ge0, e a borda superior tem y=\sqrt{3-x^{2}}.
  • A curva x^{2}+y^{2}=4y pode ser reescrita como x^{2}+(y-2)^{2}=4,que é o círculo centrado em (0,2) de raio 2. Sua parte inferior (no primeiro quadrante) é y=2-\sqrt{4-x^{2}},válida para |x|\le2.
  • Para achar a interseção entre as duas curvas, igualamos x^{2}+y^{2}=3 e x^{2}+y^{2}=4y. Assim 3=4y, logo y=\tfrac{3}{4}.Substituindo em x^{2}+y^{2}=3 obtemos x^{2}=3-\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}=3-\tfrac{9}{16}=\tfrac{39}{16},logo na interseção (primeiro quadrante) temos x=\frac{\sqrt{39}}{4},\qquad y=\frac{3}{4}.Este ponto marca onde as duas curvas se cruzam dentro do primeiro quadrante.

Passo 3

Construção da integral com x variável independente (ordem dy\,dx). Identificar para cada x o intervalo de y.
  • Para um x fixo no primeiro quadrante, os pontos de D têm de satisfazer simultaneamente as desigualdades x^{2}+y^{2}\le 3\quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}\le 4y.Isso significa que, para esse x, y deve ficar entre a curva inferior do círculo centrado em (0,2) e a curva superior do círculo centrado na origem (na interseção destas duas curvas quando houver).
  • A borda inferior relevante (no primeiro quadrante) é y=2-\sqrt{4-x^{2}} (pois a parte inferior do círculo centrado em (0,2) tem valores positivos para x>0), e a borda superior é y=\sqrt{3-x^{2}}.
  • O intervalo de x para o qual existe interseção é de x=0 até o ponto de interseção x=\dfrac{\sqrt{39}}{4} (para x>\dfrac{\sqrt{39}}{4} os intervalos de y dessas duas curvas não se sobrepõem no primeiro quadrante).
  • Portanto, escrevendo a integral com x como variável independente (ordem dy\,dx): I=\int_{x=0}^{\frac{\sqrt{39}}{4}}\left(\int_{y=2-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{3-x^{2}}} x y\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\right)dx.

Passo 4

Construção da integral com y variável independente (ordem dx\,dy). Identificar para cada y o intervalo de x e por que precisamos de duas integrais.
  • Para y fixo, as condições x^{2}+y^{2}\le 3 e x^{2}+y^{2}\le 4y implicam x^{2}\le 3-y^{2}\quad\text{e}\quad x^{2}\le 4y-y^{2}.Assim, para cada y o x deve satisfazer 0\le x\le \sqrt{\min\{\,3-y^{2},\;4y-y^{2}\,\}}.
  • Para decidir qual expressão é a menor (o “min”), comparamos 3-y^{2} e 4y-y^{2}. Igualando: 3-y^{2}=4y-y^{2}\quad\Rightarrow\quad 3=4y\quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{3}{4}.Então:
    • Se 0\le y\le \tfrac{3}{4} temos 4y-y^{2}\le 3-y^{2}, logo o limite em x é x\in[0,\sqrt{4y-y^{2}}].
    • Se \tfrac{3}{4}\le y\le \sqrt{3} temos 3-y^{2}\le 4y-y^{2}, logo o limite em x é x\in[0,\sqrt{3-y^{2}}].
  • O intervalo total de y na região é de y=0 até y=\sqrt{3} (pois o círculo centrado na origem limita em y\le\sqrt{3}, e dentro dessa faixa o outro círculo também permite pontos).
  • Portanto escrevemos I como soma de duas integrais I=I_{1}+I_{2}, com (seguindo a hipótese de que os limites de x em I_{1} são menores ou iguais aos de I_{2}): I_{1}=\int_{y=0}^{\frac{3}{4}}\left(\int_{x=0}^{\sqrt{4y-y^{2}}} x y\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\right)dy,
I_{2}=\int_{y=\frac{3}{4}}^{\sqrt{3}}\left(\int_{x=0}^{\sqrt{3-y^{2}}} x y\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\right)dy.

Passo 5

Passagem para coordenadas polares: equações das curvas, ponto de interseção em termos de \theta, e seleção dos subintervalos em \theta.
  • Em coordenadas polares temos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta.
  • As duas curvas em polares:
    • x^{2}+y^{2}=3 vira r^{2}=3, ou seja r=\sqrt{3}.
    • x^{2}+y^{2}=4y vira r^{2}=4r\sin\theta. Para r\ne0 obtemos r=4\sin\theta.
  • A interseção entre r=\sqrt{3} e r=4\sin\theta ocorre quando \sqrt{3}=4\sin\theta\quad\Rightarrow\quad \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{4}.Defina \theta_{0}=\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right). Numericamente \theta_{0}\approx 0{,}447 rad (cerca de 25{,}6^\circ).
  • Para \theta pequeno (perto de 0) temos 4\sin\theta<\sqrt{3}, então o limite superior em r é r=4\sin\theta. Para \theta maior (próximo de \pi/2) temos 4\sin\theta>\sqrt{3}, então o limite superior em r é r=\sqrt{3}.
  • Assim, com a hipótese dada (os limites de \theta em I_{3} são menores ou iguais aos de I_{4}), tomamos:
    • Para I_{3}: \theta\in\bigl[0,\theta_{0}\bigr] e r\in\bigl[0,4\sin\theta\bigr].
    • Para I_{4}: \theta\in\bigl[\theta_{0},\tfrac{\pi}{2}\bigr] e r\in\bigl[0,\sqrt{3}\bigr].

Passo 6

Transformação do integrando e diferencial de área para coordenadas polares.
  • Substituindo x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta no integrando x y\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA, obtemos: x y\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = (r\cos\theta)(r\sin\theta)(r^{2})\,(r\,dr\,d\theta).
  • Agrupando as potências de r e os fatores em \theta, (r\cos\theta)(r\sin\theta)(r^{2})(r\,dr\,d\theta)=r^{5}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
  • Portanto na expressão polar o elemento f\cdot dA é f\cdot dA = r^{5}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Resposta

I=\displaystyle \int_{x=0}^{\frac{\sqrt{39}}{4}}\left(\int_{y=2-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{3-x^{2}}} x y\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\right)dx
I_{1}=\displaystyle \int_{y=0}^{\frac{3}{4}}\left(\int_{x=0}^{\sqrt{4y-y^{2}}} x y\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\right)dy
I_{2}=\displaystyle \int_{y=\frac{3}{4}}^{\sqrt{3}}\left(\int_{x=0}^{\sqrt{3-y^{2}}} x y\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\right)dy
\theta\in\displaystyle \left[0,\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right]
r\in\displaystyle \left[0,4\sin\theta\right]
\theta\in\displaystyle \left[\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right),\frac{\pi}{2}\right]
r\in\displaystyle \left[0,\sqrt{3}\right]
f\cdot dA = r^{5}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta

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