Considere a integral dupla
,
em que
é a região situada no primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências
e
.
Após escrever I em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como uma única integral dupla, dada por
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir suas respostas)
b) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como soma de duas integrais duplas, da forma
.
Supondo que os limitantes de integração de
na integral dupla
são menores ou iguais do que os limitantes de integração de
na integral dupla
, tem-se que:
a primeira integral dupla é
□
e a segunda integral dupla é
□
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir sua resposta)
c) Ao utilizar coordenadas polares,
também deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, da forma
.
Supondo que os limitantes de integração de
na integral dupla
são menores ou iguais do que os limitantes de integração de
na integral dupla
, tem-se que:
i) os limitantes de integração de
são:
ii) os limitantes de integração de
são:
Além disso, após transformar o integrando para coordenadas polares, juntamente com o diferencial de área, obtém-se que
em que
Após escrever I em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir suas respostas)
b) Tomando
Supondo que os limitantes de integração de
a primeira integral dupla é
e a segunda integral dupla é
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir sua resposta)
c) Ao utilizar coordenadas polares,
Supondo que os limitantes de integração de
i) os limitantes de integração de
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- A integral é
. - A região
é a parte do primeiro quadrante que é interior às duas circunferências e - Precisamos escrever
em coordenadas cartesianas nas duas ordens de integração possíveis: - (a) com
variável independente (ou seja ), como uma única integral dupla; - (b) com
variável independente (ou seja ), obtendo com duas integrais e identificando e ;
- (a) com
- Depois (c) escrever
em coordenadas polares, também como soma , identificando os limites em e (com a hipótese sobre a ordem dos limites de ) e transformando o integrando com .
Passo 2
Encontro dos pontos/curvas que limitam
— interseção das circunferências e formas explícitas das curvas.
- A curva
é o círculo centrado na origem com raio . No primeiro quadrante usamos a parte com , e a borda superior tem - A curva
pode ser reescrita como que é o círculo centrado em de raio . Sua parte inferior (no primeiro quadrante) é válida para . - Para achar a interseção entre as duas curvas, igualamos
e . Assim , logo Substituindo em obtemos logo na interseção (primeiro quadrante) temos Este ponto marca onde as duas curvas se cruzam dentro do primeiro quadrante.
Passo 3
Construção da integral com
variável independente (ordem
). Identificar para cada
o intervalo de
.
- Para um
fixo no primeiro quadrante, os pontos de têm de satisfazer simultaneamente as desigualdades Isso significa que, para esse , deve ficar entre a curva inferior do círculo centrado em e a curva superior do círculo centrado na origem (na interseção destas duas curvas quando houver). - A borda inferior relevante (no primeiro quadrante) é
(pois a parte inferior do círculo centrado em tem valores positivos para ), e a borda superior é . - O intervalo de
para o qual existe interseção é de até o ponto de interseção (para os intervalos de dessas duas curvas não se sobrepõem no primeiro quadrante). - Portanto, escrevendo a integral com
como variável independente (ordem ):
Passo 4
Construção da integral com
variável independente (ordem
). Identificar para cada
o intervalo de
e por que precisamos de duas integrais.
- Para
fixo, as condições e implicam Assim, para cada o deve satisfazer - Para decidir qual expressão é a menor (o “min”), comparamos
e . Igualando: Então: - Se
temos , logo o limite em é . - Se
temos , logo o limite em é .
- Se
- O intervalo total de
na região é de até (pois o círculo centrado na origem limita em , e dentro dessa faixa o outro círculo também permite pontos). - Portanto escrevemos
como soma de duas integrais , com (seguindo a hipótese de que os limites de em são menores ou iguais aos de ):
Passo 5
Passagem para coordenadas polares: equações das curvas, ponto de interseção em termos de
, e seleção dos subintervalos em
.
- Em coordenadas polares temos
e . - As duas curvas em polares:
-
vira , ou seja -
vira . Para obtemos
-
- A interseção entre
e ocorre quando Defina . Numericamente rad (cerca de ). - Para
pequeno (perto de ) temos , então o limite superior em é . Para maior (próximo de ) temos , então o limite superior em é . - Assim, com a hipótese dada (os limites de
em são menores ou iguais aos de ), tomamos: - Para
: e . - Para
: e .
- Para
Passo 6
Transformação do integrando e diferencial de área para coordenadas polares.
- Substituindo
e no integrando , obtemos: - Agrupando as potências de
e os fatores em , - Portanto na expressão polar o elemento
é