Considere a função
Indique os pontos críticos de
caso possua e a regiões de crescimento e decrescimento da função.
Passo 1
O enunciado pede para a função f(x)=
indicar os pontos críticos (onde f′(x)=0 ou não existe) e os intervalos de crescimento e decrescimento. Vamos usar derivada de função racional e estudo de sinal.
Passo 2
Determinar o domínio de f: o denominador é x^2 - x + 4. Seu discriminante é
, então x^2 - x + 4 nunca zera. Logo o domínio de f é todo
.
Passo 3
Calcular f′(x) pela regra do quociente. Temos numerador u(x)=x-4 e denominador v(x)=x^2 - x + 4, com u′(x)=1 e v′(x)=2x-1. Assim:
Passo 4
Simplificar o numerador:
Logo
Passo 5
Encontrar pontos críticos resolvendo f′(x)=0. Como o denominador nunca é zero, basta -x(x-8)=0, o que dá x=0 e x=8.
Passo 6
Estudar o sinal de f′(x). Como (x^2 - x + 4)^2 > 0 sempre, o sinal de f′(x) é o de -x(x-8).
Para x<0: x(x-8)>0 ⇒ f′<0 (decrescente).
Para 0<x<8: x(x-8)<0 ⇒ f′>0 (crescente).
Para x>8: x(x-8)>0 ⇒ f′<0 (decrescente).
Para x<0: x(x-8)>0 ⇒ f′<0 (decrescente).
Para 0<x<8: x(x-8)<0 ⇒ f′>0 (crescente).
Para x>8: x(x-8)>0 ⇒ f′<0 (decrescente).
Resposta
Pontos críticos: x = 0 e x = 8. f é decrescente em (-∞,0), crescente em (0,8) e decrescente em (8,∞).