Considere a função
f(x)=x-4x^2-x+4
Indique os pontos críticos de f caso possua e a regiões de crescimento e decrescimento da função.

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)= x-4x^2 - x + 4 indicar os pontos críticos (onde f′(x)=0 ou não existe) e os intervalos de crescimento e decrescimento. Vamos usar derivada de função racional e estudo de sinal.

Passo 2

Determinar o domínio de f: o denominador é x^2 - x + 4. Seu discriminante é Δ = (-1)^2 - 4·1·4 = 1 - 16 = -15 < 0, então x^2 - x + 4 nunca zera. Logo o domínio de f é todo R.

Passo 3

Calcular f′(x) pela regra do quociente. Temos numerador u(x)=x-4 e denominador v(x)=x^2 - x + 4, com u′(x)=1 e v′(x)=2x-1. Assim:
f(x)=u(x)·v(x) - u(x)·v(x)[v(x)]^2 = 1·(x^2 - x + 4) - (x-4)(2x-1)(x^2 - x + 4)^2

Passo 4

Simplificar o numerador:
(x^2 - x + 4) - (x-4)(2x-1) = x^2 - x + 4 - (2x^2 - 9x + 4) = -x^2 + 8x = -x(x-8)
Logo
f(x) = -x(x-8)(x^2 - x + 4)^2

Passo 5

Encontrar pontos críticos resolvendo f′(x)=0. Como o denominador nunca é zero, basta -x(x-8)=0, o que dá x=0 e x=8.

Passo 6

Estudar o sinal de f′(x). Como (x^2 - x + 4)^2 > 0 sempre, o sinal de f′(x) é o de -x(x-8).
Para x<0: x(x-8)>0 ⇒ f′<0 (decrescente).
Para 0<x<8: x(x-8)<0 ⇒ f′>0 (crescente).
Para x>8: x(x-8)>0 ⇒ f′<0 (decrescente).

Resposta

Pontos críticos: x = 0 e x = 8. f é decrescente em (-∞,0), crescente em (0,8) e decrescente em (8,∞).

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