Faça um esboço dos gráficos da seguinte função, seguindo o roteiro fornecido em aula:
f(x)=x^5-10 x^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra gente fazer um esboço do gráfico da função $ f(x) = x^{5} - 10x^{2} $. Isso significa que vamos desenhar o gráfico dessa função, seguindo o que a gente aprendeu em aula. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de gráficos de funções, como encontrar os pontos onde a função cruza o eixo $ x $ e $ y $, identificar onde a função está aumentando ou diminuindo, e ver a curvatura do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $. Isso significa que vamos resolver a equação:
x
Podemos fatorar essa expressão:
f(x) = 0
Então, temos duas possibilidades:
x^5 - 10x^2 = 0
Resolvendo cada uma:
x^2(x^3 - 10) = 0
x^2 = 0 ou x^3 - 10 = 0
Então, os zeros da função são $ x = 0 $ e $ x \approx 2,154 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto onde a função cruza o eixo $ y $. Para isso, substituímos $ x = 0 $ na função:
y
Então, o gráfico da função passa pela origem, ou seja, pelo ponto (0, 0).

Passo 4

Pra entender onde a função está aumentando ou diminuindo, vamos precisar achar a derivada de $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
f(x)
Agora, vamos encontrar onde essa derivada é zero:
f'(x) = ddx(x^5 - 10x^2) = 5x^4 - 20x
Podemos fatorar:
5x^4 - 20x = 0
Então, temos:
5x(x^3 - 4) = 0
Agora, para saber se a função está aumentando ou diminuindo, vamos analisar o sinal da derivada em intervalos definidos por esses pontos críticos ($ x = 0 $ e $ x \approx 1,587 $).
  • Para $ x < 0 $: Escolha $ x = -1 $ x = 0 ou x^3 - 4 = 0 Rightarrow x = raiz[3]4 approx 1,587 çãá
  • Para $ 0 < x < 1,587 $: Escolha $ x = 1 $ x = 0 çãá
  • Para $ x > 1,587 $: Escolha $ x = 2 $ x approx 1,587 çãá

Passo 5

Vamos agora identificar os pontos de máximo e mínimo locais usando os pontos onde a derivada é zero.
  • Em $ x = 0 $:
    • Antes de $ 0 $, a função está aumentando.
    • Depois de $ 0 $, a função está diminuindo.
    • Isso indica um ponto de máximo local em $ x = 0 $.
  • Em $ x \approx 1,587 $:
    • Antes de $ 1,587 $, a função está diminuindo.
    • Depois de $ 1,587 $, a função está aumentando.
    • Isso indica um ponto de mínimo local em $ x \approx 1,587 $.
Para encontrar as coordenadas desses pontos:
  • Para $ x = 0 $:
    x = 0
    Então, o ponto é $ (0, 0) $.
  • Para $ x \approx 1,587 $:
    0
    Então, o ponto é aproximadamente $ (1,587, -15) $.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função quando $ x $ tende ao infinito positivo e negativo.
  • Quando $ x \to +\infty $: x
  • Quando $ x \to -\infty $: x to +infty
Isso nos mostra que o gráfico sobe para o infinito quando $ x $ vai para o positivo e desce para o infinito quando $ x $ vai para o negativo.

Passo 7

Por fim, vamos juntar todas as informações para esboçar o gráfico:
  • Zeros da função: $ x = 0 $ e $ x \approx 2,154 $.
  • Pontos importantes:
    • Ponto de máximo em $ (0, 0) $.
    • Ponto de mínimo aproximado em $ (1,587, -15) $.
  • Comportamento:
    • A função sobe quando $ x < 0 $.
    • Diminui entre $ x = 0 $ e $ x \approx 1,587 $.
    • Sobe novamente para $ x > 1,587 $.
  • Extremos:
    • Vai para $ +\infty $ quando $ x \to +\infty $.
    • Vai para $ -\infty $ quando $ x \to -\infty $.
Com todas essas informações, você consegue desenhar um gráfico que passa pela origem, tem um pico ali, desce até o ponto mínimo e depois sobe de novo, cruzando o eixo $ x $ em aproximadamente $ x = 2,154 $.

Resposta

O esboço do gráfico de $ f(x) = x^{5} - 10x^{2} $ apresenta um ponto de máximo em $ (0, 0) $, um ponto de mínimo aproximado em $ (1,587, -15) $, cruza o eixo $ x $ em $ x = 0 $ e $ x \approx 2,154 $, e tende a $ +\infty $ quando $ x \to +\infty $ e a $ -\infty $ quando $ x \to -\infty $.

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