Faça um esboço dos gráficos da seguinte função, seguindo o roteiro fornecido em aula:
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra gente fazer um esboço do gráfico da função $ f(x) = x^{5} - 10x^{2} $. Isso significa que vamos desenhar o gráfico dessa função, seguindo o que a gente aprendeu em aula. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de gráficos de funções, como encontrar os pontos onde a função cruza o eixo $ x $ e $ y $, identificar onde a função está aumentando ou diminuindo, e ver a curvatura do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $. Isso significa que vamos resolver a equação:
Podemos fatorar essa expressão:
Então, temos duas possibilidades:
Resolvendo cada uma:
Então, os zeros da função são $ x = 0 $ e $ x \approx 2,154 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto onde a função cruza o eixo $ y $. Para isso, substituímos $ x = 0 $ na função:
Então, o gráfico da função passa pela origem, ou seja, pelo ponto (0, 0).
Passo 4
Pra entender onde a função está aumentando ou diminuindo, vamos precisar achar a derivada de $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
Agora, vamos encontrar onde essa derivada é zero:
Podemos fatorar:
Então, temos:
Agora, para saber se a função está aumentando ou diminuindo, vamos analisar o sinal da derivada em intervalos definidos por esses pontos críticos ($ x = 0 $ e $ x \approx 1,587 $).
- Para $ x < 0 $: Escolha $ x = -1 $
- Para $ 0 < x < 1,587 $: Escolha $ x = 1 $
- Para $ x > 1,587 $: Escolha $ x = 2 $
Passo 5
Vamos agora identificar os pontos de máximo e mínimo locais usando os pontos onde a derivada é zero.
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Em $ x = 0 $:
- Antes de $ 0 $, a função está aumentando.
- Depois de $ 0 $, a função está diminuindo.
- Isso indica um ponto de máximo local em $ x = 0 $.
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Em $ x \approx 1,587 $:
- Antes de $ 1,587 $, a função está diminuindo.
- Depois de $ 1,587 $, a função está aumentando.
- Isso indica um ponto de mínimo local em $ x \approx 1,587 $.
Para encontrar as coordenadas desses pontos:
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Para $ x = 0 $:Então, o ponto é $ (0, 0) $.
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Para $ x \approx 1,587 $:Então, o ponto é aproximadamente $ (1,587, -15) $.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função quando $ x $ tende ao infinito positivo e negativo.
- Quando $ x \to +\infty $:
- Quando $ x \to -\infty $:
Isso nos mostra que o gráfico sobe para o infinito quando $ x $ vai para o positivo e desce para o infinito quando $ x $ vai para o negativo.
Passo 7
Por fim, vamos juntar todas as informações para esboçar o gráfico:
- Zeros da função: $ x = 0 $ e $ x \approx 2,154 $.
- Pontos importantes:
- Ponto de máximo em $ (0, 0) $.
- Ponto de mínimo aproximado em $ (1,587, -15) $.
- Comportamento:
- A função sobe quando $ x < 0 $.
- Diminui entre $ x = 0 $ e $ x \approx 1,587 $.
- Sobe novamente para $ x > 1,587 $.
- Extremos:
- Vai para $ +\infty $ quando $ x \to +\infty $.
- Vai para $ -\infty $ quando $ x \to -\infty $.
Com todas essas informações, você consegue desenhar um gráfico que passa pela origem, tem um pico ali, desce até o ponto mínimo e depois sobe de novo, cruzando o eixo $ x $ em aproximadamente $ x = 2,154 $.
Resposta
O esboço do gráfico de $ f(x) = x^{5} - 10x^{2} $ apresenta um ponto de máximo em $ (0, 0) $, um ponto de mínimo aproximado em $ (1,587, -15) $, cruza o eixo $ x $ em $ x = 0 $ e $ x \approx 2,154 $, e tende a $ +\infty $ quando $ x \to +\infty $ e a $ -\infty $ quando $ x \to -\infty $.