Para a função
f(x)=cos (pi x)+4(e^x^3+x^2)^5
Determine a equação da reta tangente ao gráfico no ponto (0,5)
y=

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função:
f(x) = cos (pi x) + 4(e^x^3 + x^2)^5
O objetivo é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto (0,5). Para isso, vamos precisar calcular a derivada de f(x) para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o valor de f(0) para confirmar que o ponto (0,5) está realmente na função.
Substituindo x = 0 na função:
f(0) = cos (0) + 4(e^0 + 0^2)^5 = 1 + 4(1 + 0)^5 = 51 = 5
Então, de fato, o ponto (0,5) está na função.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada f'(x) para determinar a inclinação da reta tangente. Vamos utilizar a regra do quociente, que diz que se f(x) = u(x)v(x), então:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)v(x)^2
Identificando u(x) e v(x):
u(x) = cos (pi x) + 4 v(x) = (e^x^3 + x^2)^5
Vamos calcular u'(x) e v'(x).
Para u'(x):
u'(x) = -pi sin (pi x)
Para v(x), usamos a regra da cadeia:
v'(x) = 5(e^x^3 + x^2)^4 cdot (3x^2e^x^3 + 2x)
Agora, aplicando a regra do quociente:
f'(x) = (-pi sin (pi x)) cdot (e^x^3 + x^2)^5 - (cos (pi x) + 4) cdot 5(e^x^3 + x^2)^4 cdot (3x^2e^x^3 + 2x)(e^x^3 + x^2)^10
Podemos simplificar:
f'(x) = -pi sin (pi x) (e^x^3 + x^2) - 5(cos (pi x) + 4)(3x^2e^x^3 + 2x)(e^x^3 + x^2)^6

Passo 4

Agora, vamos calcular f'(0) substituindo x = 0 na derivada que encontramos.
Primeiro, vamos calcular cada parte:
sin (pi cdot 0) = 0
cos (pi cdot 0) = 1
e^0 = 1
Então:
f'(0) = -pi cdot 0 cdot (1 + 0) - 5(1 + 4)(0 + 0)(1 + 0)^6 = 0 - 01 = 0

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (0,5) é:
y = 5

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