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por derivação implícita:
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
. O conteúdo é derivação implícita, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para diferenciar em função de
.
Passo 2
Derivamos os dois lados em relação a
. Para o lado esquerdo, aplicamos regra do produto e regra da cadeia:
[\frac{d}{dx}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) = \frac{d}{dx}(e^{y}),\sin x + e^{y},\frac{d}{dx}(\sin x)]
Sabendo que
e
, temos
[e^{y}\sin x,\frac{dy}{dx} + e^{y}\cos x]. Para o lado direito,
[\frac{d}{dx}(2x + x,y) = 2 + \bigl(1\cdot y + x,\frac{dy}{dx}\bigr) = 2 + y + x,\frac{dy}{dx}].
Passo 3
Colocamos todos os termos que envolvem
de um lado e os demais do outro:
[e^{y}\sin x,\frac{dy}{dx} - x,\frac{dy}{dx} = 2 + y - e^{y}\cos x].
Passo 4
Fatoramos
e isolamos:
[(e^{y}\sin x - x),\frac{dy}{dx} = 2 + y - e^{y}\cos x]
Logo,
[\frac{dy}{dx} = \frac{2 + y - e^{y}\cos x}{e^{y}\sin x - x}].