Encontre d yd x por derivação implícita:
e^y sen(x)=2 x+x y

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita e^ysin x = 2x + x,y. O conteúdo é derivação implícita, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para diferenciar em função de x.

Passo 2

Derivamos os dois lados em relação a x. Para o lado esquerdo, aplicamos regra do produto e regra da cadeia:
[\frac{d}{dx}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) = \frac{d}{dx}(e^{y}),\sin x + e^{y},\frac{d}{dx}(\sin x)]
Sabendo que ddx(e^y) = e^ydydx e ddx(sin x)=cos x, temos
[e^{y}\sin x,\frac{dy}{dx} + e^{y}\cos x]. Para o lado direito,
[\frac{d}{dx}(2x + x,y) = 2 + \bigl(1\cdot y + x,\frac{dy}{dx}\bigr) = 2 + y + x,\frac{dy}{dx}].

Passo 3

Colocamos todos os termos que envolvem dydx de um lado e os demais do outro:
[e^{y}\sin x,\frac{dy}{dx} - x,\frac{dy}{dx} = 2 + y - e^{y}\cos x].

Passo 4

Fatoramos dydx e isolamos:
[(e^{y}\sin x - x),\frac{dy}{dx} = 2 + y - e^{y}\cos x]
Logo,
[\frac{dy}{dx} = \frac{2 + y - e^{y}\cos x}{e^{y}\sin x - x}].

Resposta

dydx = 2 + y - e^ycos xe^ysin x - x

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