Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+5}{n^{2}+2} é convergente ou divergente, utilizando um teste de comparação.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+5}{n^{2}+2}
converge ou diverge, usando um teste de comparação. O conteúdo aqui é sobre séries de termos positivos e o teste de comparação em limite. Vamos comparar com a série harmônica \sum 1/n, que é bem conhecida por divergir.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{n+5}{n^2+2} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{n}.
Sabemos que \sum_{n=1}^\infty b_n é a série harmônica, que diverge.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação em limite, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+5}{n^2+2}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+5)}{n^2+2} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2+5n}{n^2+2}.

Passo 4

Para avaliar o limite, dividimos numerador e denominador por n^2:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{1 + 5/n}{1 + 2/n^2} = \frac{1+0}{1+0} = 1.
Como 0 < L < \infty e \sum b_n diverge, o teste de comparação em limite implica que \sum a_n também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+5}{n^{2}+2} diverge.

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