Considere a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n}. Determine se ela converge absolut mente, condicionalmente ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}
converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas: teste de convergência absoluta e teste de séries alternadas (teste de Leibniz).
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\Bigr| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Essa é a série harmônica clássica, que é uma p-série com p=1. Sabe-se que a série harmônica diverge (por exemplo, pelo teste integral ou pelo critério da p-série).
Passo 3
Como não há convergência absoluta, aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas. Note que a sequência de termos positivos \displaystyle a_n=\frac{1}{n}
é monótona decrescente e \lim_{n\to\infty}a_n=0. Pelo teste de séries alternadas, isso garante que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n
converge.