Considere a função
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(a) Argumente por que essa função é invertível.
(a) Argumente por que essa função é invertível.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f(x)=x^5+2x é invertível. O conteúdo envolve teoria de monotonicidade de funções reais e uso de derivada para garantir injetividade e, junto com comportamento em ±∞, sobrejetividade.
Passo 2
Para uma função real ser invertível basta que ela seja bijetora. Usamos o teorema que diz: se f é contínua e estritamente monotônica em ℝ, então f é injetora; se ainda lim_{x→−∞}f(x)=−∞ e lim_{x→+∞}f(x)=+∞, então f é sobrejetora em ℝ.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de f para verificar monotonicidade. Temos:
Logo,
Passo 4
Observamos que x^4≥0 para todo x∈ℝ. Assim 5x^4≥0 e 5x^4+2≥2>0. Logo f’(x)>0 para todo x. Isso implica que f é estritamente crescente em ℝ e, portanto, injetora.
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento nos extremos. Como o termo dominante x^5→+∞ quando x→+∞ e x^5→−∞ quando x→−∞, temos:
Isso garante que f é sobrejetora em ℝ.
Passo 6
Concluímos que f é contínua, estritamente crescente (injetora) e atinge todos os valores reais (sobrejetora). Dessa forma, f é bijetora em ℝ e, portanto, invertível.
Resposta
A função f é invertível porque sua derivada f’(x)=5x^4+2 é sempre positiva, garantindo que f é estritamente crescente (injetora) e, como vai de −∞ a +∞, é também sobrejetora em ℝ.