O grafico de qualquer função quadrática f(x)=a x^2+b x+c é uma parábola. Demonstre que a média das inclinações das retas tangentes ao gráfico nos pontos onde a parábola intercepta o eixo x é igual à inclinação da reta tangente no vértice da parábola.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, para a função quadrática f(x)=ax^2+bx+c, a média das inclinações das tangentes nos pontos de interceptação com o eixo x é igual à inclinação da tangente no vértice. Vamos usar derivadas e a relação entre as raízes de uma parábola.

Passo 2

Primeiro, calcule a derivada de f, pois ela dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x:
f'(x)=ddx(ax^2+bx+c)=2ax+b

Passo 3

Sejam r1 e r2 as raízes de f(x). As inclinações nos pontos x=r1 e x=r2 são
f'(r1)=2ar1+b,
f'(r2)=2ar2+b
A média dessas inclinações é
f'(r1)+f'(r2)2=(2ar1+b)+(2ar2+b)2=a(r1+r2)+b
Como pela soma das raízes de ax^2+bx+c=0 temos r1+r2=-tfracba, vem
a(r1+r2)+b=al(-bar)+b=-b+b=0

Passo 4

Agora vamos à inclinação no vértice. A abscissa do vértice é xv=-tfracb2a. Logo,
f'(xv)=2al(-b2ar)+b=-b+b=0
Vimos que tanto a média das inclinações nos zeros quanto a inclinação no vértice valem zero, logo são iguais.

Resposta

A média das inclinações das retas tangentes nos zeros de f coincide com a inclinação da tangente no vértice, ambas iguais a zero.

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