O grafico de qualquer função quadrática
é uma parábola. Demonstre que a média das inclinações das retas tangentes ao gráfico nos pontos onde a parábola intercepta o eixo
é igual à inclinação da reta tangente no vértice da parábola.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que, para a função quadrática
, a média das inclinações das tangentes nos pontos de interceptação com o eixo
é igual à inclinação da tangente no vértice. Vamos usar derivadas e a relação entre as raízes de uma parábola.
Passo 2
Primeiro, calcule a derivada de
, pois ela dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
:
Passo 3
Sejam
e
as raízes de
. As inclinações nos pontos
e
são
A média dessas inclinações é
Como pela soma das raízes de
temos
, vem
Passo 4
Agora vamos à inclinação no vértice. A abscissa do vértice é
. Logo,
Vimos que tanto a média das inclinações nos zeros quanto a inclinação no vértice valem zero, logo são iguais.
Resposta
A média das inclinações das retas tangentes nos zeros de
coincide com a inclinação da tangente no vértice, ambas iguais a zero.