Exercício 7.21 Estuda a natureza das seguintes séries. Em caso de convergência, indica se a convergência é simples ou absoluta.
sumn=2^+infty n^2+n+2^nn(n+1) 2^n+1;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos que estudar a natureza da série infinita:
sumn=2^+infty n^2+n+2^nn(n+1) 2^n+1
A matéria envolvida aqui é séries infinitas e convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação e entender um pouco sobre convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a análise. Vamos observar os termos no numerador e denominador:
Numerador: n^2 + n + 2^n
Denominador: n(n+1)2^n+1
Podemos reescrever o denominador como 2^n+1 = 2 cdot 2^n, então a fração fica:
n^2 + n + 2^nn(n+1) cdot 2 cdot 2^n = n^2 + n + 2^n2n(n+1)2^n

Passo 3

Agora, vamos analisar qual termo é dominante no numerador para grandes valores de n. Aqui, 2^n cresce muito mais rápido que n^2 ou n, então o termo 2^n domina. Portanto, podemos aproximar a fração principal como:
2^n2n(n+1)2^n = 12n(n+1)

Passo 4

A série simplificada que obtemos é:
sumn=2^+infty 12n(n+1)
Essa é uma série que conhecemos e que é convergente. Além disso, todos os termos são positivos, o que facilita a análise.

Passo 5

Para confirmar a convergência da série original, usamos o Teste da Comparação. Observamos que:
0 < n^2 + n + 2^nn(n+1)2^n+1 <= 2^n + 2^n + 2^n2n(n+1)2^n = 32n(n+1)
Como a série sum 1n(n+1) é convergente, pela comparação, nossa série original também converge.

Passo 6

Além disso, como todos os termos da série são positivos, a convergência é absoluta. Ou seja, a série converge independentemente do sinal dos termos.

Resposta

A série converge absolutamente.

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