Exercício 7.21 Estuda a natureza das seguintes séries. Em caso de convergência, indica se a convergência é simples ou absoluta.
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos que estudar a natureza da série infinita:
A matéria envolvida aqui é séries infinitas e convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação e entender um pouco sobre convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a análise. Vamos observar os termos no numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:
Denominador:
Podemos reescrever o denominador como
, então a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar qual termo é dominante no numerador para grandes valores de
. Aqui,
cresce muito mais rápido que
ou
, então o termo
domina. Portanto, podemos aproximar a fração principal como:
Passo 4
A série simplificada que obtemos é:
Essa é uma série que conhecemos e que é convergente. Além disso, todos os termos são positivos, o que facilita a análise.
Passo 5
Para confirmar a convergência da série original, usamos o Teste da Comparação. Observamos que:
Como a série
é convergente, pela comparação, nossa série original também converge.
Passo 6
Além disso, como todos os termos da série são positivos, a convergência é absoluta. Ou seja, a série converge independentemente do sinal dos termos.
Resposta
A série converge absolutamente.