Considere a função
.
(b) Sabendo que o ponto
pertence ao gráfico de
, calcule a derivada da função
(inversa de
) em
.
(b) Sabendo que o ponto
Passo 1
Beleza, a gente tem a função $ f(x) = x^{5} + 2x $ e sabe que o ponto
está no gráfico dela. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada da função inversa $ g $ de $ f $ no ponto $ x = 3 $. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de funções inversas e aplicar um pouco de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função inversa $ g $ em um ponto $ y $ pode ser encontrada usando a fórmula:
onde $ y = f(x) $ e $ x $ é o valor tal que $ f(x) = y $. Então, precisamos calcular a derivada de $ f $, que é $ f’(x) $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ f(x) = x^{5} + 2x $. Aplicando as regras de derivação:
Agora, precisamos avaliar essa derivada no ponto $ x = 1 $, já que $ f(1) = 3 $.
Passo 4
Substituindo $ x = 1 $ na derivada:
Agora, usando a fórmula da derivada da função inversa:
Resposta
A derivada da função inversa $ g $ em $ x = 3 $ é $ \frac{1}{7} $.