Considere a função f(x)=x^5+2 x.
(b) Sabendo que o ponto (1,3) pertence ao gráfico de f, calcule a derivada da função g (inversa de f) em x=3.

Passo 1

Beleza, a gente tem a função $ f(x) = x^{5} + 2x $ e sabe que o ponto f(x) = x^5 + 2x está no gráfico dela. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada da função inversa $ g $ de $ f $ no ponto $ x = 3 $. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de funções inversas e aplicar um pouco de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função inversa $ g $ em um ponto $ y $ pode ser encontrada usando a fórmula:
g
onde $ y = f(x) $ e $ x $ é o valor tal que $ f(x) = y $. Então, precisamos calcular a derivada de $ f $, que é $ f’(x) $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ f(x) = x^{5} + 2x $. Aplicando as regras de derivação:
f(x) = x^5 + 2x
Agora, precisamos avaliar essa derivada no ponto $ x = 1 $, já que $ f(1) = 3 $.

Passo 4

Substituindo $ x = 1 $ na derivada:
x = 1
Agora, usando a fórmula da derivada da função inversa:
f'(1) = 5(1)^4 + 2 = 5 + 2 = 7

Resposta

A derivada da função inversa $ g $ em $ x = 3 $ é $ \frac{1}{7} $.

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