Dada a EDO
(e^3 y-y cos x y) d x+(3 x e^3 y-x cos x y+y^3) d y=0
em R^2.
Verifique se tal EDO é Exata.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a EDO
l(e^3y-ycos(xy)r),dx+l(3x e^3y-xcos(xy)+y^3r),dy=0
é exata, isto é, satisfaz a condição de exatidão partial Mpartial y=partial Npartial x. Vamos precisar identificar M(x,y) e N(x,y) e calcular derivadas parciais.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=e^3y-ycos(xy),
N(x,y)=3x e^3y-xcos(xy)+y^3

Passo 3

Para calcular partial Mpartial y, derivamos termo a termo:
  • Derivada de e^3y em relação a y 3e^3y.
  • Derivada de -ycos(xy) usa produto:
    • derivada de y é 1, gerando -cos(xy);
    • mais y vezes derivada de cos(xy) em y, que é -xsin(xy), resultando em +xysin(xy).
      Logo,
partial Mpartial y=3e^3y-cos(xy)+xysin(xy)

Passo 4

Para calcular partial Npartial x, também derivamos termo a termo:
  • Derivada de 3x e^3y em relação a x 3e^3y.
  • Derivada de -xcos(xy) pelo produto gera -cos(xy)+xysin(xy).
  • O termo y^3 é constante em x, logo derivada zero.
    Assim,
partial Npartial x=3e^3y-cos(xy)+xysin(xy)

Passo 5

Comparando, vemos que
partial Mpartial y=partial Npartial x=3e^3y-cos(xy)+xysin(xy)

Resposta

A EDO é exata.

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