Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela de cada uma das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função $ f(x, y) = x^{4} - 2x^{2} + y^{3} - 3y $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a análise da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos onde $ f_x = 0 $ e $ f_y = 0 $:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos usando a segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas segundas:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Passo 5
Vamos avaliar $ D $ em cada ponto crítico:
-
Ponto (0, 1):
-
Ponto (0, -1):
-
Ponto (1, 1):
-
Ponto (1, -1):
-
Ponto (-1, 1):
-
Ponto (-1, -1):
Resposta
Os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $ f(x, y) = x^{4} - 2x^{2} + y^{3} - 3y $ são:
- Máximo local: (0, -1)
- Mínimos locais: (1, 1) e (-1, 1)
- Pontos de sela: (0, 1), (1, -1) e (-1, -1)