Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela de cada uma das funções.
f(x, y)=x^4-2 x^2+y^3-3 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função $ f(x, y) = x^{4} - 2x^{2} + y^{3} - 3y $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a análise da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
x
y

Passo 3

Agora, encontramos os pontos onde $ f_x = 0 $ e $ f_y = 0 $:
fx = 0
fy = 0
Então, os pontos críticos são:
4x^3 - 4x = 0 implies 4x(x^2 - 1) = 0 implies x = 0 ou x = pm 1

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos usando a segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x^2 - 4
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y
fxy = fyx = 0 (já que não há termos mistos) áãá
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = fxx cdot fyy

Passo 5

Vamos avaliar $ D $ em cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 1):
    D
    fxx = 12(0)^2 - 4 = -4
    fyy = 6(1) = 6
  2. Ponto (0, -1):
    D = (-4)(6) = -24 < 0 Rightarrow Ponto de sela
    fxx = -4
    fyy = 6(-1) = -6
    D = (-4)(-6) = 24 > 0 á
  3. Ponto (1, 1):
    fxx = -4 < 0 Rightarrow Máximo local
    fxx = 12(1)^2 - 4 = 8
    fyy = 6(1) = 6
    D = (8)(6) = 48 > 0 í
  4. Ponto (1, -1):
    fxx = 8 > 0 Rightarrow Mínimo local
    fxx = 8
    fyy = -6
  5. Ponto (-1, 1):
    D = (8)(-6) = -48 < 0 Rightarrow Ponto de sela
    fxx = 12(-1)^2 - 4 = 8
    fyy = 6(1) = 6
    D = (8)(6) = 48 > 0 í
  6. Ponto (-1, -1):
    fxx = 8 > 0 Rightarrow Mínimo local
    fxx = 8
    fyy = -6

Resposta

Os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $ f(x, y) = x^{4} - 2x^{2} + y^{3} - 3y $ são:
  • Máximo local: (0, -1)
  • Mínimos locais: (1, 1) e (-1, 1)
  • Pontos de sela: (0, 1), (1, -1) e (-1, -1)

Exercícios relacionados