Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inicial
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o problema de valor inicial\newline
y’’ + 4y = cos t + u_{2}(t), com condições y(0)=0 e y’(0)=0. O conteúdo principal é o uso da transformada de Laplace em equações diferenciais lineares e o teorema do deslocamento (passo de Heaviside).
y’’ + 4y = cos t + u_{2}(t), com condições y(0)=0 e y’(0)=0. O conteúdo principal é o uso da transformada de Laplace em equações diferenciais lineares e o teorema do deslocamento (passo de Heaviside).
Passo 2
Aplicação da transformada de Laplace: aplicando L{·} em ambos os lados e usando y(0)=y’(0)=0, obtemos
Como L{y’’} = s^2 Y(s), L{\cos t} = s/(s^2+1) e L{u_2(t)} = e^{-2s}/s, resulta
Passo 3
Isolamento de Y(s): fatorando Y(s), temos
Passo 4
Inversão da primeira parcela: para
fazemos frações parciais: assume-se
Igualando numeradores chega-se em A=1/3 e B=-1/3. Logo,
Invertendo, obtemos
Passo 5
Inversão da segunda parcela com deslocamento: para
primeiro achamos f(t)=L{-1}[1/(s(s2+4))]. Em frações parciais:
Logo f(t)=\tfrac14(1 - \cos(2t)). Pelo teorema do deslocamento,