Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inicial
y^prime prime+4 y & =cos t+u2(t) y(0) & =0 ; y^prime(0)=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o problema de valor inicial\newline
y’’ + 4y = cos t + u_{2}(t), com condições y(0)=0 e y’(0)=0. O conteúdo principal é o uso da transformada de Laplace em equações diferenciais lineares e o teorema do deslocamento (passo de Heaviside).

Passo 2

Aplicação da transformada de Laplace: aplicando L{·} em ambos os lados e usando y(0)=y’(0)=0, obtemos
Ly'' + 4Ly = Lcos t + Lu2(t)
Como L{y’’} = s^2 Y(s), L{\cos t} = s/(s^2+1) e L{u_2(t)} = e^{-2s}/s, resulta
s^2Y(s) + 4Y(s) = ss^2+1 + e^-2ss

Passo 3

Isolamento de Y(s): fatorando Y(s), temos
Y(s) = ss^2+1 + e^-2sss^2+4 = s(s^2+1)(s^2+4) + e^-2ss(s^2+4)

Passo 4

Inversão da primeira parcela: para
s(s^2+1)(s^2+4)
fazemos frações parciais: assume-se
s(s^2+1)(s^2+4) = A ss^2+1 + B ss^2+4
Igualando numeradores chega-se em A=1/3 e B=-1/3. Logo,
s(s^2+1)(s^2+4) = 13ss^2+1 - 13ss^2+4
Invertendo, obtemos
y1(t) = 13cos t - 13cos(2t)

Passo 5

Inversão da segunda parcela com deslocamento: para
e^-2ss(s^2+4)
primeiro achamos f(t)=L{-1}[1/(s(s2+4))]. Em frações parciais:
1s(s^2+4) = 1/4s - 1/4,ss^2+4
Logo f(t)=\tfrac14(1 - \cos(2t)). Pelo teorema do deslocamento,
L^-1e^-2sF(s) = u2(t),f(t-2) = 14u2(t)l[1 - cosl(2(t-2)r)r]

Resposta

y(t)=13l(cos t - cos(2t)r) + 14u2(t)l[1-cos(2t-4)r]

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