Considere a função
a) Calcule a derivada de
.
b) Encontre os pontos onde a derivada é zero.
c) Classifique esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
d) Determine onde a função está crescendo e decrescendo.
e) Desenhe o gráfico da função à mão, indicando:
- Os pontos críticos (máximo, mínimo, inflexão)
- Intervalos de crescimento e decrescimento
- Comportamento geral da curva
a) Calcule a derivada de
b) Encontre os pontos onde a derivada é zero.
c) Classifique esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
d) Determine onde a função está crescendo e decrescendo.
e) Desenhe o gráfico da função à mão, indicando:
Passo 1
O enunciado dá a função
. Vamos usar derivadas de polinômios para calcular
e
, resolver
para achar pontos críticos, aplicar o teste da segunda derivada para classificar máximo, mínimo e inflexão, analisar o sinal de
para intervalos de crescimento/decrescimento e, por fim, esboçar qualitativamente a curva marcando os pontos encontrados.
Passo 2
Para achar a derivada aplicamos a regra do poder:
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem
Passo 4
A segunda derivada é
Em
temos
, indicativo de máximo local; em
temos
, indicativo de mínimo local. O ponto de inflexão ocorre onde
, isto é em
, pois a concavidade muda de côncava para convexa.
Passo 5
O sinal de
é positivo se
e negativo se
. Logo:
-
cresce em . -
decresce em .
Passo 6
No esboço manual traçamos uma cúbica com:
-
e . - Máximo local em
. - Inflexão em
. - Mínimo local em
. - Crescimento em
e decrescimento em .
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) máximo local em , mínimo local em
, inflexão em
\n
(d) cresce em , decresce em
\n
(e) esboço qualitativo de cúbica com comportamento de e
, marcando os pontos críticos e intervalos conforme acima.
(b)
(c) máximo local em
(d) cresce em
(e) esboço qualitativo de cúbica com comportamento de