Considere a função f(x)=x^3-3 x
a) Calcule a derivada de f(x).
b) Encontre os pontos onde a derivada é zero.
c) Classifique esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
d) Determine onde a função está crescendo e decrescendo.
e) Desenhe o gráfico da função à mão, indicando:
  • Os pontos críticos (máximo, mínimo, inflexão)
  • Intervalos de crescimento e decrescimento
  • Comportamento geral da curva

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^3 - 3x. Vamos usar derivadas de polinômios para calcular f' e f'', resolver f'(x)=0 para achar pontos críticos, aplicar o teste da segunda derivada para classificar máximo, mínimo e inflexão, analisar o sinal de f' para intervalos de crescimento/decrescimento e, por fim, esboçar qualitativamente a curva marcando os pontos encontrados.

Passo 2

Para achar a derivada aplicamos a regra do poder:
f'(x) = ddx(x^3) - ddx(3x) = 3x^2 - 3

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem
3x^2 - 3 = 0 Longrightarrow x^2 = 1 Longrightarrow x = pm 1

Passo 4

A segunda derivada é
f''(x) = ddx(3x^2 - 3) = 6x
Em x=-1 temos f''(-1)=-6<0, indicativo de máximo local; em x=1 temos f''(1)=6>0, indicativo de mínimo local. O ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0, isto é em x=0, pois a concavidade muda de côncava para convexa.

Passo 5

O sinal de f'(x)=3(x^2-1) é positivo se |x|>1 e negativo se |x|<1. Logo:
  • f cresce em (-infty,-1)cup(1,infty).
  • f decresce em (-1,1).

Passo 6

No esboço manual traçamos uma cúbica com:
  • limxto -inftyf(x)=-infty e limxtoinftyf(x)=infty.
  • Máximo local em l(-1,f(-1)r)=(-1,2).
  • Inflexão em l(0,f(0)r)=(0,0).
  • Mínimo local em l(1,f(1)r)=(1,-2).
  • Crescimento em (-infty,-1)cup(1,infty) e decrescimento em (-1,1).

Resposta

(a) f'(x)=3x^2-3\n
(b) x=pm 1\n
(c) máximo local em (-1,2), mínimo local em (1,-2), inflexão em (0,0)\n
(d) cresce em (-infty,-1)cup(1,infty), decresce em (-1,1)\n
(e) esboço qualitativo de cúbica com comportamento de -inftyto- infty e +inftyto+infty, marcando os pontos críticos e intervalos conforme acima.

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